הסתברות — כיתה י"א · 4 יח"ל (קשה)

פתרונות

1. $56$ — $\binom{8}{3}=\frac{8!}{3!\,(5)!}=56$.
2. $21$ — $\binom{7}{2}=\frac{7!}{2!\,(5)!}=21$.
3. $10$ — $\binom{5}{3}=\frac{5!}{3!\,(2)!}=10$.
4. $35$ — $\binom{7}{4}=\frac{7!}{4!\,(3)!}=35$.
5. $84$ — $\binom{9}{3}=\frac{9!}{3!\,(6)!}=84$.
6. $60$ — תמורה חלקית: $P(5,3)=\frac{5!}{(2)!}=60$.
7. $12$ — תמורה חלקית: $P(4,2)=\frac{4!}{(2)!}=12$.
8. $336$ — תמורה חלקית: $P(8,3)=\frac{8!}{(5)!}=336$.
9. $\frac{1}{2}$ — מספר התוצאות הרצויות חלקי $6$: $P=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.
10. $\frac{1}{6}$ — מספר התוצאות הרצויות חלקי $6$: $P=\frac{1}{6}=\frac{1}{6}$.
11. $\frac{1}{6}$ — באי-תלות $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$.
12. $\frac{1}{10}$ — באי-תלות $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)=\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{10}$.
13. $\frac{1}{2}$ — $P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}$.
14. $\frac{1}{2}$ — $P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$.
15. $\frac{3}{10}$ — ללא החזרה: $P=\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{4}=\frac{3}{10}$.
16. $\frac{3}{28}$ — ללא החזרה: $P=\frac{3}{8}\cdot\frac{2}{7}=\frac{3}{28}$.
17. $\frac{4}{25}$ — עם החזרה ההרכב נשמר: $P=\frac{2}{5}\cdot\frac{2}{5}=\frac{4}{25}$.
18. $\frac{9}{64}$ — עם החזרה ההרכב נשמר: $P=\frac{3}{8}\cdot\frac{3}{8}=\frac{9}{64}$.
19. $\frac{2}{3}$ — $P(\overline{A})=1-P(A)=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$.
20. $\frac{3}{8}$ — $P(\overline{A})=1-P(A)=1-\frac{5}{8}=\frac{3}{8}$.
21. $\frac{7}{11}$ — $P(\overline{A})=1-P(A)=1-\frac{4}{11}=\frac{7}{11}$.
22. $\frac{1}{2}$ — $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\frac{2}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{10}=\frac{1}{2}$.
23. $\frac{1}{3}$ — $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\frac{1}{6}+\frac{1}{4}-\frac{1}{12}=\frac{1}{3}$.
24. $\frac{3}{7}$ — לפי בייס: $P(B_1\mid A)=\frac{P(B_1)P(A\mid B_1)}{P(A)}$ כאשר $P(A)=\frac{7}{12}$, ולכן $\frac{3}{7}$.
25. $\frac{1}{18}$ — מתוך $36$ זוגות, $2$ זוגות סכומם $3$: $P=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}$.
26. $\frac{1}{6}$ — מתוך $36$ זוגות, $6$ זוגות סכומם $7$: $P=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$.
27. $\frac{1}{18}$ — מתוך $36$ זוגות, $2$ זוגות סכומם $11$: $P=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}$.
28. $\frac{3}{8}$ — לפי הבינומי: $P=\binom{4}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^{4}=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$.
29. $\frac{1}{4}$ — לפי הבינומי: $P=\binom{4}{1}\left(\frac{1}{2}\right)^{4}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$.
30. $\frac{1}{32}$ — לפי הבינומי: $P=\binom{5}{5}\left(\frac{1}{2}\right)^{5}=\frac{1}{32}=\frac{1}{32}$.
31. $\frac{3}{5}$ — בקרב $(12+8)$ בעלי $A$, $12$ הם גם בעלי $B$: $P(B\mid A)=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$.
32. $\frac{7}{10}$ — בקרב $(14+6)$ בעלי $A$, $14$ הם גם בעלי $B$: $P(B\mid A)=\frac{14}{20}=\frac{7}{10}$.
33. $6$ — תמורות של $3$ עצמים שונים: $3!=6$.
34. $\frac{2}{5}$ — הסתברות מסלול = מכפלת ההסתברויות לאורכו: $\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{3}=\frac{2}{5}$.
35. $\frac{3}{20}$ — הסתברות מסלול = מכפלת ההסתברויות לאורכו: $\frac{1}{4}\cdot\frac{3}{5}=\frac{3}{20}$.
36. $\frac{37}{64}$ — $P(\geq 1)=1-(1-P)^{3}=1-\left(1-\frac{1}{4}\right)^{3}=\frac{37}{64}$.
37. $28$ — ללא חשיבות לסדר: $\binom{8}{2}=28$.
38. $105$ — ללא חשיבות לסדר: $\binom{15}{2}=105$.
39. $91$ — ללא חשיבות לסדר: $\binom{14}{2}=91$.
40. $126$ — ללא חשיבות לסדר: $\binom{9}{4}=126$.