הסתברות — כיתה י"א · 4 יח"ל (קל)

פתרונות

1. $10$ — $\binom{5}{2}=\frac{5!}{2!\,(3)!}=10$.
2. $45$ — $\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!\,(8)!}=45$.
3. $70$ — $\binom{8}{4}=\frac{8!}{4!\,(4)!}=70$.
4. $15$ — $\binom{6}{4}=\frac{6!}{4!\,(2)!}=15$.
5. $28$ — $\binom{8}{2}=\frac{8!}{2!\,(6)!}=28$.
6. $20$ — תמורה חלקית: $P(5,2)=\frac{5!}{(3)!}=20$.
7. $120$ — תמורה חלקית: $P(6,3)=\frac{6!}{(3)!}=120$.
8. $72$ — תמורה חלקית: $P(9,2)=\frac{9!}{(7)!}=72$.
9. $90$ — תמורה חלקית: $P(10,2)=\frac{10!}{(8)!}=90$.
10. $\frac{1}{3}$ — מספר התוצאות הרצויות חלקי $6$: $P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.
11. $\frac{1}{2}$ — מספר התוצאות הרצויות חלקי $6$: $P=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.
12. $\frac{1}{4}$ — באי-תלות $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$.
13. $\frac{1}{2}$ — באי-תלות $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)=\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{3}=\frac{1}{2}$.
14. $\frac{1}{2}$ — $P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{3}}=\frac{1}{2}$.
15. $\frac{1}{3}$ — $P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{2}{9}}{\frac{2}{3}}=\frac{1}{3}$.
16. $\frac{2}{7}$ — ללא החזרה: $P=\frac{4}{7}\cdot\frac{3}{6}=\frac{2}{7}$.
17. $\frac{1}{3}$ — ללא החזרה: $P=\frac{6}{10}\cdot\frac{5}{9}=\frac{1}{3}$.
18. $\frac{9}{49}$ — עם החזרה ההרכב נשמר: $P=\frac{3}{7}\cdot\frac{3}{7}=\frac{9}{49}$.
19. $\frac{1}{9}$ — עם החזרה ההרכב נשמר: $P=\frac{2}{6}\cdot\frac{2}{6}=\frac{1}{9}$.
20. $\frac{3}{5}$ — $P(\overline{A})=1-P(A)=1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}$.
21. $\frac{7}{9}$ — $P(\overline{A})=1-P(A)=1-\frac{2}{9}=\frac{7}{9}$.
22. $\frac{5}{12}$ — $P(\overline{A})=1-P(A)=1-\frac{7}{12}=\frac{5}{12}$.
23. $\frac{5}{12}$ — $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}-\frac{1}{12}=\frac{5}{12}$.
24. $\frac{5}{14}$ — $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\frac{2}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{14}=\frac{5}{14}$.
25. $\frac{8}{23}$ — לפי בייס: $P(B_1\mid A)=\frac{P(B_1)P(A\mid B_1)}{P(A)}$ כאשר $P(A)=\frac{23}{40}$, ולכן $\frac{8}{23}$.
26. $\frac{1}{12}$ — מתוך $36$ זוגות, $3$ זוגות סכומם $4$: $P=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}$.
27. $\frac{5}{36}$ — מתוך $36$ זוגות, $5$ זוגות סכומם $8$: $P=\frac{5}{36}=\frac{5}{36}$.
28. $\frac{1}{36}$ — מתוך $36$ זוגות, $1$ זוגות סכומם $12$: $P=\frac{1}{36}=\frac{1}{36}$.
29. $\frac{1}{4}$ — לפי הבינומי: $P=\binom{4}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^{4}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$.
30. $\frac{5}{32}$ — לפי הבינומי: $P=\binom{5}{4}\left(\frac{1}{2}\right)^{5}=\frac{5}{32}=\frac{5}{32}$.
31. $\frac{5}{32}$ — לפי הבינומי: $P=\binom{5}{1}\left(\frac{1}{2}\right)^{5}=\frac{5}{32}=\frac{5}{32}$.
32. $\frac{5}{8}$ — בקרב $(25+15)$ בעלי $A$, $25$ הם גם בעלי $B$: $P(B\mid A)=\frac{25}{40}=\frac{5}{8}$.
33. $\frac{11}{15}$ — בקרב $(22+8)$ בעלי $A$, $22$ הם גם בעלי $B$: $P(B\mid A)=\frac{22}{30}=\frac{11}{15}$.
34. $720$ — תמורות של $6$ עצמים שונים: $6!=720$.
35. $\frac{1}{5}$ — הסתברות מסלול = מכפלת ההסתברויות לאורכו: $\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{5}$.
36. $\frac{3}{4}$ — $P(\geq 1)=1-(1-P)^{2}=1-\left(1-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}$.
37. $\frac{11}{36}$ — $P(\geq 1)=1-(1-P)^{2}=1-\left(1-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{11}{36}$.
38. $495$ — ללא חשיבות לסדר: $\binom{12}{4}=495$.
39. $165$ — ללא חשיבות לסדר: $\binom{11}{3}=165$.
40. $210$ — ללא חשיבות לסדר: $\binom{10}{4}=210$.