הסתברות — כיתה י"א · 3 יח"ל (קשה)

פתרונות

1. $\frac{1}{2}$ — לקובייה $6$ תוצאות שוות-הסתברות. מספר התוצאות המתאימות חלקי $6$ נותן $\frac{1}{2}$.
2. $\frac{5}{6}$ — לקובייה $6$ תוצאות שוות-הסתברות. מספר התוצאות המתאימות חלקי $6$ נותן $\frac{5}{6}$.
3. $\frac{1}{2}$ — סך הכדורים $4+4=8$. מספר הכדורים בצבע אדום הוא $4$, ולכן ההסתברות $\frac{1}{2}$.
4. $\frac{3}{5}$ — סך הכדורים $9+6=15$. מספר הכדורים בצבע ירוק הוא $9$, ולכן ההסתברות $\frac{3}{5}$.
5. $\frac{3}{8}$ — לפי כלל המשלים $P(\bar{A})=1-P(A)=1-\frac{5}{8}=\frac{3}{8}$.
6. $\frac{7}{9}$ — לפי כלל המשלים $P(\bar{A})=1-P(A)=1-\frac{2}{9}=\frac{7}{9}$.
7. $\frac{1}{2}$ — באירועים זרים $P(A\cup B)=P(A)+P(B)=\frac{1}{10}+\frac{2}{5}=\frac{1}{2}$.
8. $\frac{1}{4}$ — באירועים זרים $P(A\cup B)=P(A)+P(B)=\frac{1}{12}+\frac{1}{6}=\frac{1}{4}$.
9. $\frac{1}{6}$ — באירועים בלתי תלויים $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{6}$.
10. $\frac{1}{4}$ — באירועים בלתי תלויים $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$.
11. $\frac{1}{4}$ — כל הטלה בלתי תלויה עם הסתברות $\frac{1}{2}$. ספירת המקרים המתאימים מתוך כל המקרים נותנת $\frac{1}{4}$.
12. $\frac{3}{4}$ — כל הטלה בלתי תלויה עם הסתברות $\frac{1}{2}$. ספירת המקרים המתאימים מתוך כל המקרים נותנת $\frac{3}{4}$.
13. $\frac{1}{45}$ — בשליפה ראשונה $\frac{2}{10}$, ובשנייה (ללא החזרה) $\frac{1}{9}$. המכפלה $\frac{1}{45}$.
14. $\frac{2}{9}$ — בשליפה ראשונה $\frac{5}{10}$, ובשנייה (ללא החזרה) $\frac{4}{9}$. המכפלה $\frac{2}{9}$.
15. $\frac{1}{25}$ — עם החזרה הכד נשאר זהה: $\frac{2}{10}\cdot\frac{2}{10}=\frac{1}{25}$.
16. $\frac{1}{4}$ — עם החזרה הכד נשאר זהה: $\frac{5}{10}\cdot\frac{5}{10}=\frac{1}{4}$.
17. $\frac{1}{2}$ — לפי הגדרת ההסתברות המותנית $P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{\frac{3}{10}}{\frac{3}{5}}=\frac{1}{2}$.
18. $\frac{1}{4}$ — לפי הגדרת ההסתברות המותנית $P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{\frac{1}{12}}{\frac{1}{3}}=\frac{1}{4}$.
19. $\frac{3}{8}$ — סוכמים מסלולים: $P(A)\cdot\frac{1}{2}+P(B)\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}=\frac{3}{8}$.
20. $\frac{7}{20}$ — סוכמים מסלולים: $P(A)\cdot\frac{1}{3}+P(B)\cdot\frac{2}{5}=\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\cdot\frac{2}{5}=\frac{7}{20}$.
21. $6$ — החישוב נותן $6$ אפשרויות.
22. $5$ — החישוב נותן $5$ אפשרויות.
23. $\frac{4}{15}$ — מספר הבנים שעברו $8$ מתוך $30$, ולכן ההסתברות $\frac{4}{15}$.
24. $\frac{11}{25}$ — מספר הבנים שעברו $22$ מתוך $50$, ולכן ההסתברות $\frac{11}{25}$.
25. $\frac{1}{3}$ — $3$ מגזרים מתאימים מתוך $9$ שווים, ולכן ההסתברות $\frac{1}{3}$.
26. $\frac{1}{8}$ — $1$ מגזרים מתאימים מתוך $8$ שווים, ולכן ההסתברות $\frac{1}{8}$.
27. $\frac{1}{4}$ — מספר הקלפים המתאימים חלקי $52$ נותן $\frac{1}{4}$.
28. $\frac{1}{2}$ — מספר הקלפים המתאימים חלקי $52$ נותן $\frac{1}{2}$.
29. $\frac{5}{6}$ — מבין $30$ הבנים, $25$ עברו, ולכן ההסתברות המותנית $\frac{5}{6}$.
30. $\frac{7}{10}$ — מבין $20$ הבנים, $14$ עברו, ולכן ההסתברות המותנית $\frac{7}{10}$.
31. $40\%$ — $ \frac{2}{5} = 40\% $ (מכפילים את השבר ב-$100\%$).
32. $10\%$ — $ \frac{1}{10} = 10\% $ (מכפילים את השבר ב-$100\%$).
33. $60$ — תוחלת מספר ההצלחות $= 200\cdot \frac{3}{10} = 60$.
34. $30$ — תוחלת מספר ההצלחות $= 300\cdot \frac{1}{10} = 30$.
35. $\frac{1}{12}$ — יש $36$ זוגות אפשריים. מספר הזוגות שסכומם $10$ הוא $3$, ולכן ההסתברות $\frac{3}{36}=\frac{1}{12}$.
36. $\frac{1}{18}$ — יש $36$ זוגות אפשריים. מספר הזוגות שסכומם $11$ הוא $2$, ולכן ההסתברות $\frac{2}{36}=\frac{1}{18}$.
37. $\frac{1}{9}$ — יש $36$ זוגות אפשריים. מספר הזוגות שסכומם $9$ הוא $4$, ולכן ההסתברות $\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$.
38. $\frac{1}{12}$ — יש $36$ זוגות אפשריים. מספר הזוגות שסכומם $10$ הוא $3$, ולכן ההסתברות $\frac{3}{36}=\frac{1}{12}$.
39. $\frac{5}{36}$ — יש $36$ זוגות אפשריים. מספר הזוגות שסכומם $8$ הוא $5$, ולכן ההסתברות $\frac{5}{36}=\frac{5}{36}$.
40. $\frac{1}{9}$ — יש $36$ זוגות אפשריים. מספר הזוגות שסכומם $9$ הוא $4$, ולכן ההסתברות $\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$.