טריגונומטריה — כיתה י׳ · יסודות בגרות

פתרונות

1. 8/√3 — tan(30°) = BC/AC ⇒ BC = AC·tan(30°) = 8·(1/√3) = 8/√3.
2. 10√3 — sin(60°) = ניצב/יתר = ניצב/20. ניצב = 20·sin(60°) = 20·(√3/2) = 10√3.
3. 225√3/4 — AB = AC·cos(30°) = 15·(√3/2) = 15√3/2. BC = AC·sin(30°) = 15/2. שטח = (15√3/2)·(15/2) = 225√3/4.
4. 12/13 — היתר = √(25+144)=13. הזווית הגדולה היא הנגדית לניצב הגדול (12). sin = 12/13.
5. 73.7° — גובה לבסיס = √(100−36)=8. חצי זווית הראש: tan(α)=6/8 ⇒ α=36.87°. זווית הראש = 73.74°.
6. 5√2 — במשולש ישר זווית עם זווית 45° שני הניצבים שווים. ניצב = יתר·sin(45°) = 10·(√2/2) = 5√2.
7. 36.87° — tan(זווית) = BC/AB = 6/8 = 0.75. זווית ≈ 36.87°.
8. 5√3/2 — גובה = 5·sin(60°) = 5·√3/2.
9. y=12, sin=12/15=4/5 — y = √(225−81) = √144 = 12. sin(זווית מול y) = y/15 = 12/15 = 4/5.
10. 3/5 — sin A = מול/יתר. הצלע מול זווית A היא BC = 3, והיתר הוא AB = 5. לכן sin A = 3/5.
11. 4/5 — cos A = ליד/יתר. הצלע הצמודה לזווית A (שאינה היתר) היא AC = 4, והיתר הוא AB = 5. לכן cos A = 4/5.
12. 3/4 — tan A = מול/ליד = BC/AC = 3/4.
13. 5/13 — sin α = מול/יתר = 5/13.
14. 3/5 — הזווית הקטנה ביותר נמצאת מול הצלע הקטנה ביותר (3). היתר הוא 5. לכן sin = 3/5.
15. 15/17 — היתר = √(64+225) = √289 = 17. הזווית מול 8 צמודה ל-15. cos = ליד/יתר = 15/17.
16. 6/10 — הצלע מול זווית C היא AB = 6, היתר הוא AC = 10. sin C = 6/10.
17. 7/25 — כאשר α + β = 90°, cos β = sin α (זהות הזוויות המשלימות). לכן cos β = 7/25.
18. 1:1 — tan α = מול/ליד = 1 משמעו שהניצבים שווים. היחס הוא 1:1 (משולש ישר זווית שווה שוקיים).
19. 9/12 — הניצב השני = √(15² − 9²) = √(225 − 81) = √144 = 12. tan = מול/ליד = 9/12.
20. 15/17 — זה משולש פיתגורי 8-15-17. sin α = מול/יתר = 15/17. ניתן לוודא: sin²+cos² = 225/289 + 64/289 = 1.
21. √3/2 — sin 60° = √3/2 (ערך מדויק). זהו אחד מערכי הזוויות המיוחדות במשולש 30-60-90 עם יחס צלעות 1:√3:2.
22. √3/2 — cos 30° = √3/2 (ערך מדויק). שים לב: cos 30° = sin 60°.
23. √2/2 — sin 45° = √2/2. במשולש 45-45-90 הניצבים שווים, sin = 1/√2 = √2/2.
24. 1 — tan 45° = sin 45°/cos 45° = (√2/2)/(√2/2) = 1.
25. 1/2 — cos 60° = 1/2 (ערך מדויק). שים לב: cos 60° = sin 30°.
26. 1 — sin 30° = 1/2 ו-cos 60° = 1/2. הסכום: 1/2 + 1/2 = 1.
27. √3 — tan 60° = sin 60°/cos 60° = (√3/2)/(1/2) = √3.
28. 1 — tan 45° = 1, tan 30° = √3/3, tan 60° = √3. המכפלה: 1 · (√3/3) · √3 = 3/3 = 1.
29. 1 — sin 45° = cos 45° = √2/2. לכן 2 · (√2/2) · (√2/2) = 2 · (2/4) = 1.
30. 1/2 — sin² 60° = 3/4, cos² 60° = 1/4. ההפרש: 3/4 − 1/4 = 2/4 = 1/2.
31. 5 — BC = AB · sin A = 10 · sin 30° = 10 · 1/2 = 5.
32. 5√3 — AC = AB · cos A = 10 · cos 30° = 10 · √3/2 = 5√3.
33. 6√3 — tan A = BC/AC, לכן BC = AC · tan 60° = 6 · √3 = 6√3.
34. 7√2 — sin 45° = 7/c, לכן c = 7/sin 45° = 7/(√2/2) = 14/√2 = 7√2.
35. 45° — tan α = 1/1 = 1, ולכן α = 45°. זהו משולש ישר זווית שווה שוקיים.
36. 60° — tan α = √3/1 = √3, ולכן α = 60°.
37. 6√3 — AB היא מול C: sin C = AB/AC, לכן AB = 12 · sin 60° = 12 · √3/2 = 6√3.
38. 30° — sin α = 4/8 = 1/2, ולכן α = 30°.
39. 4 — tan B = AC/BC, לכן AC = BC · tan 45° = 4 · 1 = 4. (משולש 45-45-90 — הניצבים שווים.)
40. 16√3/3 — cos B = AB/BC, לכן BC = AB/cos 30° = 8/(√3/2) = 16/√3 = 16√3/3.