חזקות — כיתה י׳ · יסודות בגרות (בינוני)

פתרונות

1. x⁶ — תחילה כפל: x⁷·x³ = x⁷⁺³ = x¹⁰. אחר כך חילוק: x¹⁰÷x⁴ = x¹⁰⁻⁴ = x⁶.
2. a⁸b⁶ — מקבצים לפי בסיס: a⁵·a³ = a⁸ ו-b²·b⁴ = b⁶. התוצאה a⁸b⁶.
3. m³ — מחסרים מעריכים בזה אחר זה: 8 − 3 − 2 = 3, ולכן m³.
4. x⁶ — כפל אותו בסיס ← חיבור מעריכים: 10 + (−4) = 6, ולכן x⁶.
5. a⁻⁷ — חילוק אותו בסיס ← חיסור מעריכים: (−2) − 5 = −7, ולכן a⁻⁷.
6. t⁴ — כפל אותו בסיס ← חיבור כל המעריכים: 2 + 5 + (−3) = 4, ולכן t⁴.
7. 16x⁴ — חזקת מכפלה: (2x)⁴ = 2⁴·x⁴ = 16x⁴. גם המקדם מועלה בחזקה.
8. 27a⁶ — (3a²)³ = 3³·(a²)³ = 27·a⁶ = 27a⁶. המקדם בחזקה והמעריכים מוכפלים.
9. x¹²y⁸ — (x³y²)⁴ = x³·⁴·y²·⁴ = x¹²y⁸. כל מעריך מוכפל ב-4.
10. x¹² — מכפילים את כל המעריכים: 2·3·2 = 12, ולכן x¹².
11. x¹⁰ — תחילה חזקה של חזקה: (x²)³ = x⁶. אחר כך כפל: x⁶·x⁴ = x⁶⁺⁴ = x¹⁰.
12. x⁶ — (−x³)² = (−1)²·(x³)² = 1·x⁶ = x⁶. חזקה זוגית הופכת את הסימן לחיובי.
13. 9 — מעריך שלילי של שבר הופך אותו: (1/3)⁻² = (3/1)² = 3² = 9.
14. 1 — כל ביטוי שונה מאפס בחזקת אפס שווה 1, ולכן (2x)⁰ = 1.
15. 1/x⁴ — כפל אותו בסיס: 3 + (−7) = −4 ← x⁻⁴ = 1/x⁴.
16. 0.01 — 10⁻² = 1/10² = 1/100 = 0.01.
17. 1/x⁶ — חזקה של חזקה: (−2)·3 = −6 ← x⁻⁶ = 1/x⁶.
18. 1/a³ — חילוק אותו בסיס: 5 − 8 = −3 ← a⁻³ = 1/a³.
19. 5/2 — מעריך −1 על שבר נותן את ההופכי: (2/5)⁻¹ = 5/2.
20. 3x³ — המקדם 3 נשאר. למעריכים: x⁻²·x⁵ = x⁻²⁺⁵ = x³. התוצאה 3x³.
21. 2 — 8^(1/3) הוא השורש השלישי של 8. כיוון ש-2³ = 8, התוצאה 2.
22. x^(2/3) — שורש מדרגה n של aᵐ שווה a^(m/n). כאן n=3, m=2, ולכן x^(2/3).
23. שורש רביעי של x³ — x^(m/n) = שורש מדרגה n של xᵐ. כאן m=3, n=4 ← שורש רביעי של x³.
24. x — כפל אותו בסיס: 1/2 + 1/2 = 1, ולכן x¹ = x.
25. x — כפל אותו בסיס: 2/3 + 1/3 = 3/3 = 1, ולכן x.
26. x² — חזקה של חזקה: (1/2)·4 = 2, ולכן x².
27. x^(1/2) — חילוק אותו בסיס: 3/4 − 1/4 = 2/4 = 1/2, ולכן x^(1/2).
28. 1/3 — 9^(−1/2) = 1/9^(1/2) = 1/√9 = 1/3.
29. 4 — כפל שורשים: √2·√8 = √(2·8) = √16 = 4.
30. 5√2 — מוציאים גורם ריבועי: 50 = 25·2, ולכן √50 = √25·√2 = 5√2.
31. 6√2 — 72 = 36·2, ולכן √72 = √36·√2 = 6√2.
32. 4√3 — 48 = 16·3, ולכן √48 = √16·√3 = 4√3.
33. x³ — √(x⁶) = x^(6/2) = x³ (עבור x > 0).
34. 2 — חילוק שורשים: √12÷√3 = √(12/3) = √4 = 2.
35. 8√7 — איברים דומים (אותו שורש √7): מחברים מקדמים בלבד. 3 + 5 = 8 ← 8√7.
36. 10√2 — 200 = 100·2, ולכן √200 = √100·√2 = 10√2.
37. 4 — מחפשים מספר שבשלישית נותן 64: 4³ = 64, ולכן השורש השלישי של 64 הוא 4.
38. √2/2 — מכפילים מונה ומכנה ב-√2: (1·√2)/(√2·√2) = √2/2.
39. √5/5 — מכפילים מונה ומכנה ב-√5: (√5)/(√5·√5) = √5/5.
40. 2√7/7 — (2·√7)/(√7·√7) = 2√7/7.