חזקות — כיתה י׳ · יסודות בגרות (קל)

פתרונות

1. x¹⁰ — כפל חזקות בעלות אותו בסיס: מחברים מעריכים. xᵃ·xᵇ = xᵃ⁺ᵇ, ולכן x⁴·x⁶ = x⁴⁺⁶ = x¹⁰.
2. a⁵ — חילוק חזקות בעלות אותו בסיס: מחסרים מעריכים. aᵃ÷aᵇ = aᵃ⁻ᵇ, ולכן a⁹÷a⁴ = a⁹⁻⁴ = a⁵.
3. y⁶ — y שווה ל-y¹. מחברים את כל המעריכים: 3 + 1 + 2 = 6, ולכן y⁶.
4. 2⁷ — אותו בסיס (2) בכפל: מחברים מעריכים בלבד, הבסיס לא משתנה. 2³·2⁴ = 2³⁺⁴ = 2⁷.
5. 1 — 5⁶÷5⁶ = 5⁶⁻⁶ = 5⁰ = 1. כל מספר (שונה מאפס) בחזקת אפס שווה 1.
6. 3⁶ — אותו בסיס (3) בכפל: 3 הוא 3¹. מחברים מעריכים: 2 + 3 + 1 = 6, ולכן 3⁶.
7. x¹⁵ — חזקה של חזקה: מכפילים מעריכים. (xᵃ)ᵇ = xᵃ·ᵇ, ולכן (x⁵)³ = x⁵·³ = x¹⁵.
8. a⁸ — חזקה של חזקה ← מכפילים מעריכים: 4·2 = 8, ולכן a⁸. (טעות נפוצה: לחבר ולקבל a⁶).
9. x³y³ — חזקת מכפלה: (xy)ⁿ = xⁿyⁿ. כל גורם מועלה בחזקה, ולכן (xy)³ = x³y³.
10. x³/y³ — חזקת מנה: (x/y)ⁿ = xⁿ/yⁿ. גם המונה וגם המכנה מועלים בחזקה, ולכן x³/y³.
11. 1 — כל מספר שונה מאפס בחזקת אפס שווה 1, ולכן 7⁰ = 1.
12. 1/8 — מעריך שלילי: a⁻ⁿ = 1/aⁿ. לכן 2⁻³ = 1/2³ = 1/8.
13. 1/x⁵ — מעריך שלילי הופך למכנה: x⁻⁵ = 1/x⁵.
14. 1/5 — a⁻¹ = 1/a, ולכן 5⁻¹ = 1/5.
15. 1/16 — 4⁻² = 1/4² = 1/16.
16. √x — מעריך 1/2 הוא שורש ריבועי: a^(1/2) = √a, ולכן x^(1/2) = √x.
17. שורש שלישי של a — מעריך 1/3 הוא שורש שלישי: a^(1/3) = השורש השלישי של a.
18. x^(1/2) — שורש ריבועי שקול למעריך 1/2: √x = x^(1/2).
19. 4 — 16^(1/2) = √16 = 4 (כי 4² = 16).
20. 10 — 100^(1/2) = √100 = 10.
21. 6 — √4 = 2, √9 = 3, ולכן המכפלה 2·3 = 6. (גם: √(4·9) = √36 = 6).
22. x — כאשר x > 0 מתקיים √(x²) = x.
23. 5 — ריבוע של שורש ריבועי מחזיר את המספר: (√5)² = 5.
24. 6 — √6·√6 = (√6)² = 6.
25. x = 3 — 1000 = 10³, ולכן x = 3.
26. 5 × 10³ — מזיזים את הנקודה העשרונית כך שיישאר מספר בין 1 ל-10: 5000 = 5 × 10³.