פונקציות — כיתה י׳ · יסודות בגרות (קשה)

פתרונות

1. x < −1 או x > 3 — x² − 2x − 3 > 0 ⇒ (x−3)(x+1) > 0 ⇒ x < −1 או x > 3.
2. 4 ימינה — √(2x − 8) = √(2(x − 4)) = f(x − 4). זו הזזה של f(x) = √(2x) ב-4 יחידות ימינה.
3. 5 ימינה — x² − 10x + 25 = (x − 5)². זו הזזה ימינה של 5 יחידות.
4. −2|x + 1| + 3 — הצבה ישירה: −2·|x + 1| + 3. הזזה שמאלה 1, מתיחה פי 2 + שיקוף לציר ה-x, הזזה מעלה 3.
5. שמאלה 2, מתיחה פי 3, מטה 5 — (x + 2) ⇒ שמאלה 2. מקדם 3 ⇒ מתיחה אנכית פי 3. − 5 ⇒ מטה 5.
6. g(x) = √(−x) + 3 — שיקוף לציר ה-y: √(−x). הזזה 3 מעלה: √(−x) + 3.
7. (1, 4) — מקסימום — ההזזה נותנת קיצון ב-(1, 4). הסימן השלילי בחוץ הופך את הפרבולה ⇒ מקסימום.
8. g(x) = −2|x + 3| — שמאלה 3: |x + 3|. מתיחה פי 2: 2|x + 3|. שיקוף לציר ה-x: −2|x + 3|.
9. כיווץ אופקי פי 2 + שיקוף לציר ה-x — f(2x) ⇒ q = 2 ⇒ כיווץ אופקי פי 2. סימן מינוס בחוץ ⇒ שיקוף לציר ה-x.
10. שמאלה 2, מתיחה פי 3, שיקוף לציר ה-x, מטה 1 — (x + 2) ⇒ שמאלה 2. מקדם |−3| = 3 ⇒ מתיחה אנכית פי 3. הסימן השלילי ⇒ שיקוף לציר ה-x. −1 ⇒ מטה 1.
11. g(x) = 1/(x − 3) − 1 — ימינה 3: x → x − 3. מטה 1: −1 בסוף. מתקבל 1/(x − 3) − 1.
12. x = −5 — האסימפטוטה האנכית במקום שבו המכנה מתאפס: x + 5 = 0, כלומר x = −5.
13. f(x) = x² — הזזה הפוכה ל-g תחזיר אותנו ל-f. (x − 1 + 1)² − 4 + 4 = x².
14. (1, 0) ו-(−5, 0) — פותרים (x + 2)² = 9 → x + 2 = ±3 → x = 1 או x = −5.
15. g(x) = −√x/2 — כיווץ אנכי פי 2: ½·f(x). שיקוף לציר ה-x: סימן מינוס. מתקבל −√x/2.
16. כיווץ אנכי פי 4 ושיקוף לציר ה-x — |−0.25| = 0.25 = ¼. כיווץ אנכי פי 4. הסימן השלילי = שיקוף לציר ה-x.
17. g(x) = √(x/4) — מתיחה אופקית פי 4 = החלפת x ב-x/4. מתקבל √(x/4).
18. (3, 5) — כיווץ אופקי פי 2: x → x/2 = 3. y נשאר 5.
19. g(x) = 9x² — (3x)² = 3²·x² = 9x². ניתן לכתוב את הכיווץ האופקי גם כמתיחה אנכית פי 9.
20. כיווץ אופקי פי 4 והזזה 2 מעלה — f(4x): כיווץ אופקי פי 4. +2 בסוף: הזזה 2 מעלה.
21. g(x) = (−2x)³ — כיווץ אופקי פי 2: x → 2x. שיקוף לציר ה-y: x → −x. שילוב: −2x.
22. g(x) = (x/2)² − 5 — מתיחה אופקית פי 2: x → x/2. הזזה מטה 5: −5. מתקבל (x/2)² − 5.
23. הזזה 4 ימינה ואז כיווץ אופקי פי 2 — בסדר הזזה→כיווץ: f(x) → f(x − 4) → f(2x − 4). לכן ההזזה היא 4 ימינה ואז כיווץ אופקי פי 2.
24. מתיחה אופקית פי 3 והזזה 4 מטה — x/3 בתוך הריבוע = מתיחה אופקית פי 3. −4 = הזזה 4 מטה.
25. g(x) = x³ — −f(−x) = −(−x)³ = −(−x³) = x³. שיקופים כפולים על פונקציה אי-זוגית מחזירים אותה.
26. g(x) = −x² — f(−x) = (−x)² = x². −f(−x) = −x². פונקציה זוגית נשארת ללא שינוי תחת שיקוף לציר ה-y, ואז שיקוף לציר ה-x הופך את סימן הפלט.
27. g(x) = −√(−x), x ≤ 0 — f(−x) = √(−x), דורש −x ≥ 0 כלומר x ≤ 0. ואז שיקוף ל-x: −√(−x).
28. זהה ל-−|x| — |−x| = |x|, ולכן −|−x| = −|x|. פונקציה זוגית לא משתנה משיקוף ל-y.
29. (−3, 2) — שיקוף ל-y: x → −x = −3. שיקוף ל-x: y → −y = 2. הנקודה: (−3, 2).
30. g(x) = 1/x — f(−x) = 1/(−x) = −1/x. −f(−x) = −(−1/x) = 1/x. 1/x אי-זוגית, ולכן נשמרת.
31. שיקוף לציר ה-x או שיקוף לציר ה-y (אותו דבר) — x³ אי-זוגית: f(−x) = −f(x). שיקוף ל-y נותן −x³, ושיקוף ל-x גם −x³.
32. g(x) = −x² − 1 — f(−x) = (−x)² + 1 = x² + 1. −f(−x) = −(x² + 1) = −x² − 1.
33. g(x) = 2x − 3 — f(−x) = 2(−x) + 3 = −2x + 3. −f(−x) = −(−2x + 3) = 2x − 3.
34. g(x) = 2(x − 1)² — קודקוד (1, 0): g(x) = a(x − 1)². הצבה (0, 2): 2 = a·1 → a = 2.
35. g(x) = 1/(x − 3) − 2 — אסימפטוטה אנכית x = 3 → הזזה 3 ימינה. אסימפטוטה אופקית y = −2 → הזזה 2 מטה.
36. −2(x + 1)² + 3 — החלף x ב-(x + 1) ב-f, הכפל ב-−2, הוסף 3: −2(x + 1)² + 3.
37. 3√(−x + 2) − 1 — f(−x + 2) = √(−x + 2). הכפלה ב-3 והפחתה של 1: 3√(−x + 2) − 1.
38. 3 ימינה, שיקוף לציר ה-x, 5 מעלה — (x − 3) = ימינה ב-3. סימן מינוס מחוץ = שיקוף לציר ה-x. +5 = 5 מעלה.
39. (2x)³/2 − 4 — f(2x) = (2x)³. כפל ב-½: (2x)³/2. החסר 4: (2x)³/2 − 4.
40. 4 — הזזה ימינה, מתיחה אנכית, שיקוף, הזזה מעלה — (x − 2) = הזזה 2 ימינה. ·3 = מתיחה פי 3. סימן מינוס = שיקוף ל-x. +7 = 7 מעלה. סה"כ 4.