מבחנים מיוחדים — כיתה י׳ · יסודות בגרות (בינוני)

פתרונות

1. 1/2 — מספרים זוגיים: 2, 4, 6. סיכוי = 3/6 = 1/2.
2. 5000 ₪ — X · 0.9 = 4500 → X = 5000.
3. 79 — aₙ = a₁ + (n-1)d = 3 + 19·4 = 3+76 = 79.
4. x=1/2, x=-3 — Δ = 25+24 = 49. x = (-5±7)/4. x=2/4=1/2 או x=-12/4=-3.
5. 6 — משולש ישר זווית. שטח = (1/2)·בסיס·גובה = (1/2)·4·3 = 6.
6. 1 — זהות פיתגורית: sin²α + cos²α = 1 לכל α.
7. 10 — sin A = BC/AB → sin 30° = 5/AB → AB = 5/0.5 = 10.
8. y = 3x - 1 — מקבילים: אותו שיפוע m=3. y-5=3(x-2) → y=3x-1.
9. -2 < x < 8 — |x-3|<5 → -5 < x-3 < 5 → -2 < x < 8.
10. x=3 — 25 = 5². 5^(x-1) = 5² → x-1=2 → x=3.
11. 5 — S = (1/2)·b·h → 30 = (1/2)·12·h → h = 5.
12. -3/2 — y=0 → 2x+3=0 → x=-3/2.
13. 25 — a₁₀ = 2·10+5 = 25.
14. אין פתרון — x² = -4. אין מספר ממשי שריבועו שלילי. אין פתרון ממשי.
15. 5600 ₪ — ריבית פשוטה: ריבית = P·r·t = 5000·0.06·2 = 600. סה"כ: 5600.
16. x=2 או x=-3 — מכפלה=0 → גורם=0. x-2=0 → x=2 (כפול). x+3=0 → x=-3.
17. 49π — r² = 49 → r=7. שטח = πr² = 49π.
18. 10 — פיתגורס: d² = 8²+6² = 100 → d=10.
19. -3 ≤ x ≤ 2 — (x+3)(x-2)≤0. שורשים -3, 2. פרבולה פתוחה למעלה ≤ 0 בין השורשים.
20. 3 — x=0 → 4y=12 → y=3. הקטע מציר y הוא 3.
21. מקסימום ב־x=−1, מינימום ב־x=3 — f'(x)=3x²−6x−9 = 3(x−3)(x+1). אפסים ב־x=−1, x=3. f''(x)=6x−6: ב־x=−1 שלילי (מקסימום), ב־x=3 חיובי (מינימום).
22. x=3, x=−1/2 — נוסחת השורשים: x=(5±√(25+24))/4 = (5±7)/4. לכן x=3 או x=−1/2.
23. y = 3x − 1 — y − y₁ = m(x − x₁): y − 5 = 3(x − 2) ⟹ y = 3x − 6 + 5 = 3x − 1.
24. 4 — a₇ − a₃ = 4d ⟹ 27 − 11 = 16 = 4d ⟹ d = 4.
25. 4x − 5 — נפתח: f(x)=2x²−5x−3. הנגזרת f'(x)=4x−5. (או לפי כלל המכפלה: 2(x−3)+(2x+1)=4x−5.)
26. ללא שינוי — מקדם כולל = 1.25 · 0.80 = 1.00. לכן המחיר חזר למחיר המקורי — ללא שינוי.
27. x < −2 או x > 3 — שורשי x²−x−6=0: (x−3)(x+2)=0 ⟹ x=3, x=−2. הפרבולה פתוחה כלפי מעלה, חיובית מחוץ לשורשים.
28. (3, −2) — צורת המעגל (x−a)²+(y−b)²=r². כאן a=3, b=−2, לכן המרכז (3, −2) והרדיוס 4.
29. 610 — Sₙ = n/2·(2a₁+(n−1)d) = 20/2·(4+19·3) = 10·(4+57) = 10·61 = 610.
30. 2/5 — סך הכדורים 10, מתוכם 4 אדומים. P = 4/10 = 2/5.
31. 1 — sin 30° = 0.5 ו־cos 60° = 0.5. הסכום 0.5 + 0.5 = 1.
32. x > 2 — f'(x)=2x−4. f'>0 כאשר x>2, ולכן הפונקציה עולה עבור x>2.
33. 81 — log₃(x)=4 פירושו x = 3⁴ = 81.
34. (2, 1) — אמצע = ((−2+6)/2, (4−2)/2) = (4/2, 2/2) = (2, 1).
35. x=3.2, y=2.2 — מהשנייה x=y+1. הצבה: 2(y+1)+3y=13 ⟹ 5y+2=13 ⟹ y=2.2, x=3.2.
36. 75 — Sₙ = a₁·(qⁿ−1)/(q−1) = 5·(2⁴−1)/(2−1) = 5·15 = 75.
37. 3√2 — √50 = 5√2, √8 = 2√2. ההפרש 5√2 − 2√2 = 3√2.
38. 45 — רוחב=w, אורך=w+4. היקף 2(w+w+4)=28 ⟹ 2w+4=14 ⟹ w=5, אורך 9. שטח 5·9=45.
39. −1/x² — f(x)=x⁻¹, f'(x)=−1·x⁻² = −1/x².
40. אין פתרון — x² = −4. אין מספר ממשי שריבועו שלילי, לכן אין פתרון ממשי (Δ<0).