מבחנים מיוחדים — כיתה י׳ · יסודות בגרות (קל)

פתרונות

1. x=2, x=4 — מפרקים לגורמים: (x−2)(x−4)=0. סכום השורשים 6 ומכפלתם 8, לכן x=2 או x=4.
2. 15x² − 8x + 7 — גוזרים איבר־איבר לפי הכלל (xⁿ)'=n·xⁿ⁻¹: 5·3x²=15x², −4·2x=−8x, 7'=7, נגזרת קבוע 0. לכן f'(x)=15x²−8x+7.
3. 10 — לפי משפט פיתגורס: יתר = √(6²+8²) = √(36+64) = √100 = 10.
4. 39 — aₙ = a₁ + (n−1)d. a₁₀ = 3 + 9·4 = 3 + 36 = 39.
5. 3 — שיפוע m = (y₂−y₁)/(x₂−x₁) = (11−2)/(4−1) = 9/3 = 3.
6. 1/2 — המספרים הזוגיים הם 2, 4, 6 — שלוש אפשרויות מתוך שש. 3/6 = 1/2.
7. x=7, y=3 — חיבור המשוואות: 2x=14 ⟹ x=7. הצבה: 7+y=10 ⟹ y=3.
8. 5 — log₂ 32 = ה־חזקה שאליה צריך להעלות 2 כדי לקבל 32. 2⁵ = 32, לכן התשובה 5.
9. (0, −4) — חיתוך עם ציר y מתקבל כאשר x=0: y = 0² − 4 = −4. הנקודה (0, −4).
10. 54 — aₙ = a₁·qⁿ⁻¹. a₄ = 2·3³ = 2·27 = 54.
11. 5 — מרחק = √((4−1)²+(6−2)²) = √(9+16) = √25 = 5.
12. x=11 — 3x − 6 = 2x + 5 ⟹ x = 11.
13. 9 — ממוצע = (4+8+10+14)/4 = 36/4 = 9.
14. 0.8 — לפי הזהות sin²α + cos²α = 1: cos²α = 1 − 0.36 = 0.64, cos α = 0.8 (חיובי כי α חדה).
15. x=3 — קודקוד הפרבולה ב־x = −b/(2a) = 6/2 = 3. מקדם a>0 ולכן זהו מינימום.
16. 256 — במכפלת חזקות בעלות אותו בסיס מחברים מעריכים: 2⁵·2³ = 2⁸ = 256.
17. 25π — שטח מעגל = πr² = π·5² = 25π.
18. x < 5 — 2x < 10 ⟹ x < 5.
19. 5 — השכיח הוא הערך המופיע הכי הרבה פעמים. המספר 5 מופיע 3 פעמים — יותר מכל ערך אחר.
20. 6 — f'(x)=2x. שיפוע המשיק ב־x=3 הוא f'(3)=2·3=6.
21. 7 — 3(x+5)=36 ⟹ x+5=12 ⟹ x=7. בדיקה: 3·12=36.
22. 14 — r²=49 ⟹ r=7. הקוטר = 2r = 14.
23. −2 — f(1) = 1³ − 3·1 = 1 − 3 = −2. הנקודה (1, −2).
24. 7 — 0!=1 (בהגדרה), 3!=6. הסכום 1+6=7.
25. 23 — נסמן x, x+1, x+2. 3x+3=72 ⟹ 3x=69 ⟹ x=23.
26. 2/5 — 0.4 = 4/10 = 2/5 (חילוק במכנה ומונה ב־2).
27. 1/9 — חזקה שלילית: a⁻ⁿ = 1/aⁿ. 3⁻² = 1/3² = 1/9.