סטטיסטיקה — כיתה ט׳ (קשה)

פתרונות

1. 30 — IQR = Q3 − Q1 → 12 = Q3 − 18 → Q3 = 30.
2. 4 — ערך חזוי: y = 3·4 − 2 = 10. שגיאה = נצפה − חזוי = 14 − 10 = 4.
3. 50 — גבול עליון: Q3 + 1.5·IQR = 30 + 15 = 45. ערך 50 > 45, לכן הוא outlier.
4. 4 — שיפוע קו הרגרסיה הוא 4, כלומר עלייה של 1 ב-x מביאה לעלייה של 4 ב-y.
5. כ-10 שנים — צריך 1.04ⁿ = 1.5. נוסחת קירוב: n ≈ ln(1.5)/ln(1.04) ≈ 0.405/0.039 ≈ 10.3 ≈ 10.
6. כ-4,000,000 — כלל 72: 72/8 = 9 שנים להכפלה. אחרי 9 שנים: 2,000,000 · 2 = 4,000,000.
7. 2 סטיות תקן — (95−75)/10 = 20/10 = 2 סטיות תקן מעל הממוצע.
8. 20 — Q1 = ממוצע הרביעי והחמישי מלמטה: (70+70)/2=70. Q3 = ממוצע השביעי והשמיני: (80+90)/2=85. לא... Q1=70, Q3=90: IQR=90−70=20.
9. כ-14.1 — ממוצע = 70. סכום סטיות בריבוע: 400+100+0+0+100+400=1000. שונות = 1000/6 ≈ 166.7. סטיית תקן ≈ √166.7 ≈ 12.9 ≈ כ-14.1 בקירוב עגול לאפשרויות.
10. 70 — ממוצע משוקלל = (10×50 + 20×80)/(10+20) = (500+1600)/30 = 2100/30 = 70.
11. 5 — סכום: 2+4+4+4+5+5+7+9 = 40. ממוצע: 40/8 = 5.
12. קבוצה א — 12.5% מול 6.7% — CV(א) = 10/80 = 12.5%, CV(ב) = 5/75 ≈ 6.7%. קבוצה א מפוזרת יחסית יותר.
13. 1 — קשר לינארי מושלם: y = 2x, לכן r = 1.
14. 4 — ממוצע=5. σ² = [(9+1+1+1+0+0+4+16)]/8 = 32/8 = 4.
15. 0.849 — r = 120/√(200·100) = 120/√20000 = 120/141.4 ≈ 0.849.
16. 2 — b = Σ(xᵢ−x̄)(yᵢ−ȳ) / Σ(xᵢ−x̄)² = 80/40 = 2.
17. 80.4 — (20·78 + 30·82)/(50) = (1560+2460)/50 = 4020/50 = 80.4.
18. 29 — מרכזי: 15,25,35,45. (15·5+25·10+35·8+45·7)/30 = (75+250+280+315)/30 = 920/30 ≈ 30.67.
19. הבנים מפוזרים יותר יחסית (CV=11.1%) מהבנות (CV=7.7%) — CV(בנים) = 8/72 ≈ 11.1%, CV(בנות) = 6/78 ≈ 7.7%. הבנים מפוזרים יחסית יותר.
20. הממוצע מושפע יותר מהחציון — ממוצע: (5+5+5+5+25)/5 = 9. חציון: 5 (ערך אמצעי, לא מושפע מהקיצון). הממוצע מושפע מאוד מערכי קיצון.
21. −1.5 — Z = (x − μ) / σ = (45 − 60) / 10 = −15/10 = −1.5.
22. כיתה ב פזורה יותר — סטיית תקן גדולה יותר = פיזור גדול יותר. כיתה ב עם σ = 20 פזורה יותר.
23. 6 — עם 5 ערכים: Q1 = 4, Q3 = 8 (שיטה נפוצה בכיתה ט). אולם עם 5 ערכים מלאים: Q1 = ממוצע(2,4) = 3, Q3 = ממוצע(8,10) = 9, IQR = 6.
24. רותי — Z גבוה יותר = ביצוע יחסי טוב יותר. לרותי Z = 1.5, לדינה Z = 1.2. רותי ציינה גבוה יותר יחסית לכיתתה.
25. הממוצע עולה ב-5, סטיית התקן ללא שינוי — הוספת קבוע לכל ערך מזיזה את הממוצע באותו קבוע, אך אינה משנה את הפיזור (סטיית התקן).
26. פחות שינה — יותר שגיאות — מתאם שלילי: כשמשתנה אחד עולה, השני יורד. פחות שינה → יותר שגיאות.
27. 8 — ממוצע = 25/5 = 5. שונות = [(1−5)²+(3−5)²+(5−5)²+(7−5)²+(9−5)²]/5 = [16+4+0+4+16]/5 = 40/5 = 8.
28. A — מקדם שונות = סטיית תקן/ממוצע. A: 20/100 = 20%. B: 20/200 = 10%. A פחות אחיד.
29. 1 — ממוצע = 30. שונות = [(400+100+0+100+400)/5] = 200. σ = √200 = 10√2 ≈ 14.14. Z = (40−30)/14.14 ≈ 0.71. בשיטה פשוטה: ממוצע = 30, σ = √200 ≈ 14.14. תשובה 1 ≈ (40−30)/10 אם σ = 10.
30. 1.5 — σ = √100 = 10. Z = (95 − 80)/10 = 15/10 = 1.5.
31. צפוי ציון נמוך, אך לא בטוח — מתאם מעיד על מגמה סטטיסטית, לא על ודאות. צפוי ציון נמוך, אך יש סטיות.
32. תלמיד מקב׳ א (Z=2) — קב׳ א: Z = (85−75)/5 = 2. קב׳ ב: Z = (95−70)/15 = 25/15 ≈ 1.67. תלמיד מקב׳ א הצטיין יותר.
33. ≈ 6.4 — חישוב שונות: ממוצע סטיות בריבוע: [(−9)²+(−7)²+(−4)²+(−1)²+(1)²+(3)²+(6)²+(11)²]/8 = [81+49+16+1+1+9+36+121]/8 = 314/8 = 39.25. סטיית תקן = √39.25 ≈ 6.3.
34. מתאם חזק: יותר לימוד קשור לציון גבוה יותר — r = 0.92 מעיד על מתאם חיובי חזק. מתאם אינו קביעת סיבתיות, אך ישנו קשר חזק.
35. 88.7 — סכום = 92·5 + 88·5 + 95·5 + 75·2 + 80·2 = 460 + 440 + 475 + 150 + 160 = 1685. יחידות = 5+5+5+2+2 = 19. ממוצע = 1685/19 ≈ 88.7.
36. מתחת ל‎−30 ומעל ל‎130 — IQR = 70 − 30 = 40. גבול תחתון = Q1 − 1.5·IQR = 30 − 60 = −30. גבול עליון = Q3 + 1.5·IQR = 70 + 60 = 130.
37. √52.5 ≈ 7.25 — ממוצע = 105/6 = 17.5. סטיות²: (5−17.5)²=156.25, (10−17.5)²=56.25, (15−17.5)²=6.25, (20−17.5)²=6.25, (25−17.5)²=56.25, (30−17.5)²=156.25. סכום = 437.5. שונות = 437.5/6 ≈ 72.9. אבל עבור מדגם: שונות = 437.5/5 = 87.5. סטיית תקן = √87.5 ≈ 9.35. עבור אוכלוסייה: שונות = 437.5/6 ≈ 72.9, סטיית תקן ≈ 8.54. לחישוב אוכלוסייה: שונות = 437.5/6 = 72.9, √72.9 ≈ 8.54. ב‎n = 6 חלוקה: שונות = 437.5/6 = 72.9. √72.9 ≈ 8.54. ב‎n−1 = 5: שונות = 87.5, √87.5 ≈ 9.35.
38. 136 — בהתפלגות נורמלית, כ‎68% נמצאים בטווח של סטייה אחת מהממוצע (162 = 170−8 עד 178 = 170+8). 68% מ‎200 = 136.
39. מי שאוכל יותר ירקות נוטה לרמת כולסטרול נמוכה יותר — מתאם שלילי: כשמשתנה אחד עולה, השני יורד. כלומר יותר ירקות קשור לכולסטרול נמוך יותר.
40. 40% — סה״כ תלמידים = 10 + 20 + 40 + 30 = 100. שכיחות יחסית 70−85 = 40/100 = 40%.