חזרה למבחן — כיתה ט׳

פתרונות

1. 16 ש״ח — 7 · 12 = 84 ש״ח. עודף: 100 − 84 = 16 ש״ח.
2. 18 — נסעו: 40% · 30 = 12. לא נסעו: 30 − 12 = 18.
3. 40% — 8/20 = 0.4 = 40%.
4. 16 — איה אכלה 1/3 · 24 = 8. נשאר: 24 − 8 = 16.
5. 15 — 2.5 · 6 = 15 שעות.
6. 3000 ש״ח — סך חלקים: 3+5=8. חלק גדול: (5/8)·4800 = 3000 ש״ח.
7. ירד ב4% — נניח מחיר 100. לאחר עלייה: 120. לאחר ירידה 20%: 120 · 0.8 = 96. ירידה של 4% מהמחיר המקורי.
8. 5400 ש״ח — 5000 · 1.08 = 5400 ש״ח.
9. 157.5 ש״ח — סה״כ לפני הנחה: 5·35 = 175 ש״ח. הנחה 10%: 175·0.9 = 157.5 ש״ח.
10. כ-14 שנה — 1.05^n ≈ 2. כיוון ש-1.05^14 ≈ 2, נדרשות כ-14 שנה.
11. 4.8 שעות — קצב ביחד: 1/8 + 1/12 = 3/24 + 2/24 = 5/24 בריכה לשעה. זמן: 24/5 = 4.8 שעות.
12. 10 מ׳ × 18 מ׳ — יהי הרוחב x. אורך = x+8. x(x+8)=180 → x²+8x−180=0 → (x−10)(x+18)=0 → x=10. ממדים: 10×18.
13. 36 — יהיו ספרות: עשרות=a, יחידות=a+3. מספר: 10a+(a+3). הפוך: 10(a+3)+a. 10a+10+3a=10a+3+27 → 13a+10=10a+30 → 3a=20 → לא שלם. נבנה מחדש: 10(a+3)+a − (10a+(a+3))=27 → 10a+30+a−10a−a−3=27 → 27=27. תמיד נכון. תנאי: a=3 → 36.
14. כ-7 שנה — 1.06^n = 1.5 → n = log₁.₀₆(1.5) ≈ 6.9 ≈ 7 שנה.
15. 27 — T₁²/r₁³ = T₂²/r₂³ → 64/64 = T₂²/729 → T₂² = 729 → T₂ = 27.
16. 13 — סדרת פיבונאצ'י: כל איבר הוא סכום שני קודמיו. 5 + 8 = 13.
17. 1.618 — 55/34 ≈ 1.6176... שמתקרב לחתך הזהב φ ≈ 1.618.
18. x = 2 או x = 3 — x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) = 0, לכן x = 2 או x = 3.
19. x = 3 או x = −3 — x² = 9, לכן x = ±3.
20. (2x + 1)(x + 3) — (2x + 1)(x + 3) = 2x² + 6x + x + 3 = 2x² + 7x + 3.
21. 0 — Δ = b² − 4ac = 16 − 16 = 0. יש שורש כפול אחד.
22. 7 — לפי וייטה, סכום השורשים = −b/a = 7/1 = 7.
23. 6 — לפי וייטה, מכפלת השורשים = c/a = 6/1 = 6.
24. 1/2 — יש 3 מספרים זוגיים (2, 4, 6) מתוך 6, לכן ההסתברות היא 3/6 = 1/2.
25. 40° — סכום זוויות במשולש הוא 180°. 180° − 60° − 80° = 40°.
26. 1/2 — sin(30°) = 1/2. זהו ערך טריגונומטרי בסיסי.
27. 1/2 — cos(60°) = 1/2. זהו ערך בסיסי שכדאי לזכור.
28. (x − 4)(x + 4) — x² − 16 = x² − 4² = (x − 4)(x + 4) — הפרש ריבועים.
29. x = 3, y = 2 — חיבור: 2x = 6, x = 3. מציבים: y = 5 − 3 = 2.
30. x = 2 — נקודת הקיצון בפרבולה y = ax² + bx + c היא x = −b/(2a) = 4/2 = 2.
31. 0.4 — P(Aᶜ) = 1 − P(A) = 1 − 0.6 = 0.4.
32. 1 — tan(45°) = sin(45°)/cos(45°) = (√2/2)/(√2/2) = 1.
33. 3(x − 1)(x + 1) — 3x² − 3 = 3(x² − 1) = 3(x − 1)(x + 1).
34. k = 6 או k = −6 — לשורש כפול: Δ = 0. k² − 36 = 0, k = ±6.
35. (2x + 3)(3x + 1) — (2x + 3)(3x + 1) = 6x² + 2x + 9x + 3 = 6x² + 11x + 3.
36. x = 1, y = 3, z = 2 — מהמשוואה הראשונה והשנייה: z = 2. מהמשוואה השנייה: x + y = 4. מהמשוואה השלישית: y = 3, לכן x = 1.
37. (0,0) ו־(2,4) — x² = 2x → x² − 2x = 0 → x(x−2) = 0. x = 0 נותן (0,0), x = 2 נותן (2,4).
38. 2/5 — יש 4 אדומים מתוך 10. ההסתברות לשלוף אדום ראשון היא 4/10 = 2/5.
39. 10√3 מ׳ — tan(30°) = גובה/צל = 10/צל. צל = 10/tan(30°) = 10/(1/√3) = 10√3.
40. p = 10, q = 24 — לפי וייטה: p = x₁ + x₂ = 10, q = x₁·x₂ = 24.