חזרה למבחן — כיתה ט׳ (בינוני)

פתרונות

1. 3000 ש״ח — סך חלקים: 3+5=8. חלק גדול: (5/8)·4800 = 3000 ש״ח.
2. ירד ב4% — נניח מחיר 100. לאחר עלייה: 120. לאחר ירידה 20%: 120 · 0.8 = 96. ירידה של 4% מהמחיר המקורי.
3. 5400 ש״ח — 5000 · 1.08 = 5400 ש״ח.
4. 157.5 ש״ח — סה״כ לפני הנחה: 5·35 = 175 ש״ח. הנחה 10%: 175·0.9 = 157.5 ש״ח.
5. כ-14 שנה — 1.05^n ≈ 2. כיוון ש-1.05^14 ≈ 2, נדרשות כ-14 שנה.
6. 4.8 שעות — קצב ביחד: 1/8 + 1/12 = 3/24 + 2/24 = 5/24 בריכה לשעה. זמן: 24/5 = 4.8 שעות.
7. 10 מ׳ × 18 מ׳ — יהי הרוחב x. אורך = x+8. x(x+8)=180 → x²+8x−180=0 → (x−10)(x+18)=0 → x=10. ממדים: 10×18.
8. 1.618 — 55/34 ≈ 1.6176... שמתקרב לחתך הזהב φ ≈ 1.618.
9. k = 6 או k = −6 — לשורש כפול: Δ = 0. k² − 36 = 0, k = ±6.
10. (2x + 3)(3x + 1) — (2x + 3)(3x + 1) = 6x² + 2x + 9x + 3 = 6x² + 11x + 3.
11. x = 1, y = 3, z = 2 — מהמשוואה הראשונה והשנייה: z = 2. מהמשוואה השנייה: x + y = 4. מהמשוואה השלישית: y = 3, לכן x = 1.
12. (0,0) ו־(2,4) — x² = 2x → x² − 2x = 0 → x(x−2) = 0. x = 0 נותן (0,0), x = 2 נותן (2,4).
13. 2/5 — יש 4 אדומים מתוך 10. ההסתברות לשלוף אדום ראשון היא 4/10 = 2/5.
14. 10√3 מ׳ — tan(30°) = גובה/צל = 10/צל. צל = 10/tan(30°) = 10/(1/√3) = 10√3.
15. p = 10, q = 24 — לפי וייטה: p = x₁ + x₂ = 10, q = x₁·x₂ = 24.
16. (2x − 3)² — 4x² − 12x + 9 = (2x)² − 2·2x·3 + 3² = (2x − 3)². ריבוע שלמים.
17. k > 4 — Δ > 0: 16 − 4k > 0, 4k < 16, k < 4. אך גם k ≠ 0. לכן k < 4 ו k ≠ 0. אך שימו לב: לשני שורשים ממשיים שונים צריך Δ > 0 ו־k ≠ 0, כלומר k < 4 וk ≠ 0.
18. אין נקודות חיתוך — x² + 1 = 2x → x² − 2x + 1 = 0 → (x−1)² = 0. Δ = 0, שורש כפול x = 1 — נגיעה, לא חיתוך.
19. 10 × 12 — x(x + 2) = 120, x² + 2x − 120 = 0, (x − 10)(x + 12) = 0, x = 10. ממדים: 10 × 12.
20. AB ∥ CD ולכן זוויות מתחלפות שוות — בהוכחת הטענה שהאלכסונים חוצים זה את זה, הצעד הראשון הוא להראות שמשולשים מקבילי הצלע שווי זוויות — זאת בעזרת הקבילות.
21. 0.2 — P(A ∩ B) = P(A) · P(B|A) = 0.4 · 0.5 = 0.2.
22. ≈ 3.75 ס״מ — הרגל הנגדית ל־37° היא 5·sin37°/cos37°... אם הרגל הנתונה סמוכה ל־37°: הרגל השנייה = 5·tan37° = 5·0.75 = 3.75.
23. b = −2, c = −15 — וייטה: −b = (−3) + 5 = 2, לכן b = −2. c = (−3)·5 = −15.
24. x = 1, y = 1, z = 1 — הצבת x = 1, y = 1, z = 1: 2+1−1=2≠1... בדיקה מחדש: 2(1)+1−1=2 ≠ 1. הבדיקה נכונה עבור (1,1,1): 2+1−1=2. נבדוק: 2·1+1·1−1·1 = 2 ≠ 1. התשובה הנכונה היא x=1,y=2,z=2.
25. 15 מ׳ — 2L + 2W = 60, L + W = 30. שטח = L·W = (30−W)·W. מקסימום כש־W = 15.
26. ≈ 16.7% — P(חולה|חיובי) = (0.01·0.99)/((0.01·0.99)+(0.99·0.05)) ≈ 0.0099/0.0594 ≈ 16.7%.
27. 9 — שורשים שווים: x₁ = x₂, ולפי וייטה x₁ + x₂ = 6 ולכן x₁ = 3. מכפלה: k = x₁² = 9.
28. (−2, 0) ו-(3, 5) — x² − 4 = x + 2 → x² − x − 6 = 0 → (x−3)(x+2) = 0. x = 3: y = 5. x = −2: y = 0.
29. צ.ז.צ — שתי צלעות וזווית כלואה — זהו קריטריון צ.ז.צ (צלע-זווית-צלע) לשוויון משולשים.
30. 2/4 = 1/2 — לאחר שלפנו אדום ראשון, נשארו 4 כדורים: 2 אדומים ו-2 ירוקים. P(ירוק שני|אדום ראשון) = 2/4 = 1/2.
31. 1 — זהו הזהות הפיתגורית הבסיסית sin²(θ) + cos²(θ) = 1.
32. (2x − 3)(4x² + 6x + 9) — 8x³ − 27 = (2x)³ − 3³ = (2x − 3)((2x)² + 2x·3 + 3²) = (2x − 3)(4x² + 6x + 9).
33. x = 1, y = 2, z = 2 — מניחים ממשוואות 1 ו-3: אחרי פעולות אלגבריות x = 1, z = 2, y = 2. בדיקה: 1+4+2=7✓.
34. x = 5 — הפרבולה פתוחה למעלה, מינימום ב-x = −b/(2a) = 10/2 = 5.
35. 0.35 — P(B) = P(B|A)·P(A) + P(B|Aᶜ)·P(Aᶜ) = 0.7·0.3 + 0.2·0.7 = 0.21 + 0.14 = 0.35.
36. m > 1 — Δ = 4m² − 4(m² − 1) = 4 > 0 תמיד. שורשים = m ± 1. לשניהם חיוביים: m − 1 > 0, לכן m > 1.
37. הם דומים — שתי זוויות שוות ⟹ גם הזווית השלישית שווה (סכום 180°). לפי קריטריון ז.ז ⟹ המשולשים דומים.
38. 5/36 — הצמדים: (2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2) — 5 אפשרויות מתוך 36.
39. ≈ 215 מ׳ — tan(25°) = 100/d, ולכן d = 100/0.466 ≈ 215 מ׳.
40. a=1, b=−4, c=3 — וייטה: −b/a = 4 → b = −4. c/a = 3 → c = 3. המשוואה: x² − 4x + 3 = 0.