חזרה למבחן — כיתה ט׳ (בינוני)

פתרונות

1. 3000 ש״ח — סך חלקים: 3+5=8. חלק גדול: (5/8)·4800 = 3000 ש״ח.
2. ירד ב4% — נניח מחיר 100. לאחר עלייה: 120. לאחר ירידה 20%: 120 · 0.8 = 96. ירידה של 4% מהמחיר המקורי.
3. 5400 ש״ח — 5000 · 1.08 = 5400 ש״ח.
4. 157.5 ש״ח — סה״כ לפני הנחה: 5·35 = 175 ש״ח. הנחה 10%: 175·0.9 = 157.5 ש״ח.
5. כ-14 שנה — 1.05^n ≈ 2. כיוון ש-1.05^14 ≈ 2, נדרשות כ-14 שנה.
6. 4.8 שעות — קצב ביחד: 1/8 + 1/12 = 3/24 + 2/24 = 5/24 בריכה לשעה. זמן: 24/5 = 4.8 שעות.
7. 10 מ׳ × 18 מ׳ — יהי הרוחב x. אורך = x+8. x(x+8)=180 → x²+8x−180=0 → (x−10)(x+18)=0 → x=10. ממדים: 10×18.
8. 1.618 — 55/34 ≈ 1.6176... שמתקרב לחתך הזהב φ ≈ 1.618.
9. k = 6 או k = −6 — לשורש כפול: Δ = 0. k² − 36 = 0, k = ±6.
10. (2x + 3)(3x + 1) — (2x + 3)(3x + 1) = 6x² + 2x + 9x + 3 = 6x² + 11x + 3.
11. x = 1, y = 3, z = 2 — מהמשוואה הראשונה והשנייה: z = 2. מהמשוואה השנייה: x + y = 4. מהמשוואה השלישית: y = 3, לכן x = 1.
12. (0,0) ו־(2,4) — x² = 2x → x² − 2x = 0 → x(x−2) = 0. x = 0 נותן (0,0), x = 2 נותן (2,4).
13. 2/5 — יש 4 אדומים מתוך 10. ההסתברות לשלוף אדום ראשון היא 4/10 = 2/5.
14. 10√3 מ׳ — tan(30°) = גובה/צל = 10/צל. צל = 10/tan(30°) = 10/(1/√3) = 10√3.
15. p = 10, q = 24 — לפי וייטה: p = x₁ + x₂ = 10, q = x₁·x₂ = 24.
16. (2x − 3)² — 4x² − 12x + 9 = (2x)² − 2·2x·3 + 3² = (2x − 3)². ריבוע שלמים.
17. k > 4 — Δ > 0: 16 − 4k > 0, 4k < 16, k < 4. אך גם k ≠ 0. לכן k < 4 ו k ≠ 0. אך שימו לב: לשני שורשים ממשיים שונים צריך Δ > 0 ו־k ≠ 0, כלומר k < 4 וk ≠ 0.
18. אין נקודות חיתוך — x² + 1 = 2x → x² − 2x + 1 = 0 → (x−1)² = 0. Δ = 0, שורש כפול x = 1 — נגיעה, לא חיתוך.
19. 10 × 12 — x(x + 2) = 120, x² + 2x − 120 = 0, (x − 10)(x + 12) = 0, x = 10. ממדים: 10 × 12.
20. AB ∥ CD ולכן זוויות מתחלפות שוות — בהוכחת הטענה שהאלכסונים חוצים זה את זה, הצעד הראשון הוא להראות שמשולשים מקבילי הצלע שווי זוויות — זאת בעזרת הקבילות.