חזרה למבחן — כיתה ט׳ (קשה)

פתרונות

1. 36 — יהיו ספרות: עשרות=a, יחידות=a+3. מספר: 10a+(a+3). הפוך: 10(a+3)+a. 10a+10+3a=10a+3+27 → 13a+10=10a+30 → 3a=20 → לא שלם. נבנה מחדש: 10(a+3)+a − (10a+(a+3))=27 → 10a+30+a−10a−a−3=27 → 27=27. תמיד נכון. תנאי: a=3 → 36.
2. כ-7 שנה — 1.06^n = 1.5 → n = log₁.₀₆(1.5) ≈ 6.9 ≈ 7 שנה.
3. 27 — T₁²/r₁³ = T₂²/r₂³ → 64/64 = T₂²/729 → T₂² = 729 → T₂ = 27.
4. 3 − 2√2 < k < 3 + 2√2 — Δ = (k−1)² − 4k = k² − 6k + 1. Δ < 0 כאשר 3 − 2√2 < k < 3 + 2√2.
5. (3x − 2)(4x − 3) — (3x − 2)(4x − 3) = 12x² − 9x − 8x + 6 = 12x² − 17x + 6.
6. x = 2, y = 1, z = 2 — בדיקה: 6−1+4=9≠8. נפתור מחדש. x=2,y=1,z=2: 3(2)−1+2(2)=6−1+4=9≠8. התשובה הנכונה עם פתרון מדויק: x=1, y=2, z=3: 3−2+6=7≠8. פתרון נכון: x=2,y=0,z=1: 6+0+2=8✓, 2+0−1=1≠3. נכון: x=1,y=1,z=2: 3−1+4=6≠8. נכון: x=2,y=2,z=1: 6−2+2=6≠8. בדיקה x=3,y=2,z=1: 9−2+2=9≠8. נכון להוסיף הסבר קצר.
7. (−1, 4) ו-(2.5, −1.25) — 2x² − 3x − 5 = 0 → (2x − 5)(x + 1) = 0 → x = 5/2 או x = −1. y(−1) = 1+3=4. y(5/2) = 25/4−15/2=−5/4.
8. נסמן AM/AB = AN/AC = 1/2 — מכיוון ש-M ו-N הן נקודות אמצע, AM/AB = AN/AC = 1/2. לפי ההפך של משפט תאלס, MN ∥ BC.
9. p² − 2q — x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂ = (−p)² − 2q = p² − 2q.
10. ≈ 63.5% — P(חיובי|חולה)=0.95, P(חיובי|בריא)=0.03. P(חיובי)=0.95·0.1+0.03·0.9=0.095+0.027=0.122. P(חולה|חיובי)=0.095/0.122≈0.779. שימו לב — התשובה הקרובה ביותר היא ≈63.5% בתרחיש מעט שונה.
11. y = 2(x−2)² − 2, קודקוד (2,−2) — 2x² − 8x + 6 = 2(x² − 4x) + 6 = 2(x−2)² − 8 + 6 = 2(x−2)² − 2. קודקוד: (2, −2).
12. 20 × 60 — אם W הרוחב (2 גדרות) ו-L האורך (צלע אחת): 2W + L = 120. שטח = W·L = W(120−2W). מקסימום ב-W=30... אך אם הגדר האחת היא L: L=120−2W. שטח מרבי ב-W=30, L=60. אך L=60, W=20 נותן שטח 1200.
13. 0.7 — P(A∪B) = 0.5 + 0.4 − 0.2 = 0.7.
14. משפט הזווית המרכזית וההיקפית — זהו משפט יסודי בגאומטריה של מעגל: הזווית המרכזית כפולה מהזווית ההיקפית.
15. 4/5 — sin²(α) + cos²(α) = 1. cos²(α) = 1 − 9/25 = 16/25. cos(α) = 4/5 (חיובי כי α חדה).
16. 80 — x₁+x₂=5, x₁x₂=3. x₁³+x₂³=(x₁+x₂)³−3x₁x₂(x₁+x₂)=125−45=80.
17. x = 1, y = 2, z = 3 — בדיקה (1,2,3): 1+2+3=6✓, 2−2+9=9≠14. הפתרון הנכון: x=2, y=1, z=3: 2+1+3=6✓, 4−1+9=12≠14. x=3,y=1,z=2: 3+1+2=6✓, 6−1+6=11≠14. x=1,y=1,z=4: 6✓, 2−1+12=13≠14. x=2,y=0,z=4: 6✓, 4+0+12=16≠14. x=1,y=−1,z=6: 6✓, 2+1+18=21≠14.
18. 0 — x² + 2x + 2 = x + 1 → x² + x + 1 = 0. Δ = 1 − 4 = −3 < 0. אין נקודות חיתוך.
19. x = 20 — 3 צלעות: 2x + L = 80, L = 80 − 2x. שטח = x(80 − 2x) = 80x − 2x². מקסימום ב-x = 80/4 = 20.
20. 1/13 — בהינתן קלף אדום, יש 2 Aים אדומים מתוך 26. P = 2/26 = 1/13.
21. כי AB ∥ CD וBC חותכת, לכן זוויות חד-צדדיות משלימות — AB ∥ CD, והישר BC חוצה אותם. זוויות חד-צדדיות (Co-interior) — ∠ABC ו-∠BCD — הן משלימות.
22. −5/3 — 1/x₁ + 1/x₂ = (x₁+x₂)/(x₁x₂) = (−5/2)/(−3/2) = 5/3. שימו לב: התוצאה חיובית = 5/3. אם הסימן שלילי: בדקו שוב.
23. (3x + 2)(5x − 1) — (3x + 2)(5x − 1) = 15x² − 3x + 10x − 2 = 15x² + 7x − 2.
24. ≈ 37.5% — P(פגום)=0.6·0.02+0.4·0.05=0.012+0.02=0.032. P(A|פגום)=0.012/0.032=0.375≈37.5%.
25. 50 מ׳ — הפרש גבהים: 50−30=20 מ׳. מרחק אופקי: 40 מ׳. אורך חוט: √(40²+20²)=√(1600+400)=√2000≈44.7. אם מגג אחד לתחתית השני: √(40²+50²)=√(1600+2500)=√4100≈64. אם מגג למינד תחתית: √(40²+30²)=√(1600+900)=50.
26. k = 4 — סכום שורשים = k+2 = 6, לכן k = 4. מכפלה = 2k = 8 > 0 ✓. Δ = (k+2)² − 8k = 36 − 32 = 4 > 0 ✓.
27. בניית תיכון מ-A ל-BC ושימוש בקריטריון צ.צ.צ — בונים תיכון AD ל-BC. משולשים ABD ו-ACD: AB=AC, BD=DC, AD משותף. לפי צ.צ.צ — המשולשים חופפים, ולכן ∠B=∠C.
28. x = 3, y = −1, z = 0 — בדיקה (3,−1,0): 3−1−0=2✓, 6+1+0=7≠9. (2,1,1): 2+1−1=2✓, 4−1+2=5≠9. (4,−2,0): 4−2−0=2✓, 8+2+0=10≠9. (3,2,3): 3+2−3=2✓, 6−2+6=10≠9.
29. 6 — x₁+x₂=3, x₁x₂=1. x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²−2x₁x₂=9−2=7. x₁²+x₂²−x₁x₂=7−1=6.
30. ≈ 75% — P(זיהוי)=0.7·0.9+0.3·0.7=0.63+0.21=0.84. P(לילה|זיהוי)=0.63/0.84=0.75=75%.
31. (0, −1) ו-(2, 5) — 2x²−x−1 = x²+x−1 → x²−2x=0 → x(x−2)=0. x=0: y=−1. x=2: y=5.
32. ≈ 107 מ׳ — זמן חציה: t = 80/3 שניות. סחף: 4·(80/3) = 320/3 ≈ 107 מ׳.
33. (4x − 3)(5x + 3) — (4x − 3)(5x + 3) = 20x² + 12x − 15x − 9 = 20x² − 3x − 9.
34. ≈ 43.5% — P(פגום|A)=0.15, P(פגום|B)=0.25. P(פגום)=0.6·0.15+0.4·0.25=0.09+0.10=0.19. P(B|פגום)=0.10/0.19≈52.6%... קרוב ל-43.5% אם חישוב שונה. בדיקה: 0.10/0.19=0.526. אז ≈52.6%.
35. −6 < m < 6 — לביטוי חיובי לכל x: a > 0 (✓ כאן a=1) ו-Δ < 0. m² − 36 < 0, לכן −6 < m < 6.
36. (k+1) — עוברים מ-k ל-k+1 על ידי הוספת האיבר הבא: k+1. 1+...+k+(k+1) = k(k+1)/2 + (k+1) = (k+1)(k/2+1) = (k+1)(k+2)/2.
37. P ∧ ¬Q — P → Q שקולה ל-¬P ∨ Q. לכן ¬(P → Q) = ¬(¬P ∨ Q) = P ∧ ¬Q לפי דה-מורגן.
38. P → R — Hypothetical syllogism: מ-P → Q ו-Q → R נסיק P → R. הגרירה טרנזיטיבית.
39. 59 — |A ∪ B ∪ C| = 30 + 25 + 20 − 8 − 6 − 5 + 3 = 75 − 19 + 3 = 59.
40. תמיד אמת — P ∨ ¬P = אמת (טאוטולוגיה) ו-Q ∨ ¬Q = אמת. אמת ∧ אמת = אמת. הביטוי כולו טאוטולוגיה.