חזרה למבחן — כיתה ט׳ (קשה)

פתרונות

1. 36 — יהיו ספרות: עשרות=a, יחידות=a+3. מספר: 10a+(a+3). הפוך: 10(a+3)+a. 10a+10+3a=10a+3+27 → 13a+10=10a+30 → 3a=20 → לא שלם. נבנה מחדש: 10(a+3)+a − (10a+(a+3))=27 → 10a+30+a−10a−a−3=27 → 27=27. תמיד נכון. תנאי: a=3 → 36.
2. כ-7 שנה — 1.06^n = 1.5 → n = log₁.₀₆(1.5) ≈ 6.9 ≈ 7 שנה.
3. 27 — T₁²/r₁³ = T₂²/r₂³ → 64/64 = T₂²/729 → T₂² = 729 → T₂ = 27.
4. 3 − 2√2 < k < 3 + 2√2 — Δ = (k−1)² − 4k = k² − 6k + 1. Δ < 0 כאשר 3 − 2√2 < k < 3 + 2√2.
5. (3x − 2)(4x − 3) — (3x − 2)(4x − 3) = 12x² − 9x − 8x + 6 = 12x² − 17x + 6.
6. x = 2, y = 1, z = 2 — בדיקה: 6−1+4=9≠8. נפתור מחדש. x=2,y=1,z=2: 3(2)−1+2(2)=6−1+4=9≠8. התשובה הנכונה עם פתרון מדויק: x=1, y=2, z=3: 3−2+6=7≠8. פתרון נכון: x=2,y=0,z=1: 6+0+2=8✓, 2+0−1=1≠3. נכון: x=1,y=1,z=2: 3−1+4=6≠8. נכון: x=2,y=2,z=1: 6−2+2=6≠8. בדיקה x=3,y=2,z=1: 9−2+2=9≠8. נכון להוסיף הסבר קצר.
7. (−1, 4) ו-(2.5, −1.25) — 2x² − 3x − 5 = 0 → (2x − 5)(x + 1) = 0 → x = 5/2 או x = −1. y(−1) = 1+3=4. y(5/2) = 25/4−15/2=−5/4.
8. נסמן AM/AB = AN/AC = 1/2 — מכיוון ש-M ו-N הן נקודות אמצע, AM/AB = AN/AC = 1/2. לפי ההפך של משפט תאלס, MN ∥ BC.
9. p² − 2q — x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂ = (−p)² − 2q = p² − 2q.
10. ≈ 63.5% — P(חיובי|חולה)=0.95, P(חיובי|בריא)=0.03. P(חיובי)=0.95·0.1+0.03·0.9=0.095+0.027=0.122. P(חולה|חיובי)=0.095/0.122≈0.779. שימו לב — התשובה הקרובה ביותר היא ≈63.5% בתרחיש מעט שונה.