הסתברות — כיתה ט׳ (בינוני)

פתרונות

1. 8/12 — לא ירוק: 5 + 3 = 8 כדורים. הסתברות: 8/12 = 2/3.
2. 0.7 — הסתברות המשלים: 1 − 0.3 = 0.7.
3. 10 — לפי עקרון ההכלה-אי-הכלה: 8+10−3=15. לא לומדים: 25−15=10.
4. 3/8 — מרחב מדגם: 8 אפשרויות. 2 עצות: HHT, HTH, THH — 3 מקרים. הסתברות: 3/8.
5. 3/5 — 18/30 = 3/5.
6. 24 — 4! = 4·3·2·1 = 24 אפשרויות.
7. 1/5 — זוגות המסתכמים ל7: (1,6),(2,5),(3,4) — 3 זוגות. סה״כ אפשרויות C(6,2)=15. הסתברות: 3/15=1/5.
8. 4/36 — הצמדים שמכפלתם 12: (2,6),(6,2),(3,4),(4,3). יש 4 צמדים מתוך 36. ההסתברות = 4/36.
9. 23 — זהו פרדוקס יום-ההולדת הידוע. עם 23 אנשים ההסתברות עולה על 50%.
10. 2/3 — בפרדוקס מונטי הול, אחרי שהמגיש פותח דלת ריקה, ההסתברות לנצח בהחלפה היא 2/3.
11. 1/2 — הסתברות לכל לידה עצמאית היא 1/2. ההיסטוריה לא משפיעה.
12. 24 — מספר הסידורים = 4! = 4·3·2·1 = 24.
13. 1/6 — הצמדים שסכומם 7: (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1). 6 צמדים מ-36. הסתברות = 6/36 = 1/6.
14. 1/6 — 6 צירופים נותנים סכום 7: (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1). הסתברות = 6/36 = 1/6.
15. 5/12 — סה״כ 12 תלמידים. 5 בנים. הסתברות = 5/12.
16. 0.7 — P(לא A) = 1 − P(A) = 1 − 0.3 = 0.7.
17. 6 — C(4,2) = 4!/(2!·2!) = 6.
18. 7/8 — P(לפחות עטרה) = 1 − P(אין עטרה) = 1 − (1/2)³ = 1 − 1/8 = 7/8.
19. 24 — 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 דרכים.
20. 1/6 — מספר התוצאות הנוחות: (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) — 6 תוצאות מתוך 36. הסיכוי = 6/36 = 1/6.
21. 35 — C(7,3) = 7!/(3! × 4!) = (7 × 6 × 5)/(3 × 2 × 1) = 210/6 = 35.
22. 24 — 4 × 3 × 2 = 24 (תמורה של 3 מתוך 4).
23. 1/221 — C(4,2)/C(52,2) = 6/1326 = 1/221.
24. 6 — C(n,2) = n(n−1)/2 = 15 → n(n−1) = 30 → n = 6 (6×5=30).
25. 32 — כל מטבע יכולה ליפול בשתי דרכים. 2⁵ = 32 תוצאות אפשריות.
26. 69 — P(לפחות זכייה אחת) = 1 − (99/100)ⁿ > 0.5. (99/100)ⁿ < 0.5. n·ln(0.99) < ln(0.5). n > ln(0.5)/ln(0.99) ≈ 68.97. n = 69.
27. 9/20 — מתחלקים ב-3: {3,6,9,12,15,18} — 6. ב-5: {5,10,15,20} — 4. ב-15: {15} — 1. חיבור-הכלה: 6+4−1 = 9. הסתברות: 9/20.
28. 1/6 — P(ירוק ראשון) = 4/9. P(ירוק שני | ירוק ראשון) = 3/8. P(שניהם ירוקים) = 4/9 · 3/8 = 12/72 = 1/6.
29. 5/36 — צירופים לסכום 8: (2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2) — 5 צירופים. הסתברות: 5/36.
30. 3/7 — P(שניהם אדומים) = C(4,2)/C(7,2) = 6/21. P(שניהם כחולים) = C(3,2)/C(7,2) = 3/21. סה״כ = 9/21 = 3/7.
31. 0.504 — P = 0.9 · 0.8 · 0.7 = 0.504.
32. 1/52 — יש קלף A דיאמונד אחד מתוך 52. הסתברות = 1/52.
33. 15/56 — P(אדום ראשון) = 5/8. P(כחול שני | אדום ראשון) = 3/7. סה״כ: 5/8 · 3/7 = 15/56.
34. 180 — 200 · 0.9 = 180.
35. כ־2 — ממוצע ניסויים עד הצלחה = 1/p = 1/0.7 ≈ 1.43. עיגול לכיוון עלייה: כ־2.
36. 1/6 — 6 צירופים נוחים מתוך 36: (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1). P = 6/36 = 1/6.
37. 0.7 — P(משלים) = 1 − P(אירוע) = 1 − 0.3 = 0.7.
38. 2/5 — P(בן) = 12/30 = 2/5.
39. 0.2 — לאירועים בלתי-תלויים: P(A∩B)=P(A)·P(B)=0.4·0.5=0.2.
40. 4/30 = 2/15 — P = 4/10 · 3/9 = 12/90 = 2/15.