חזקות — כיתה ט׳ (בינוני)

פתרונות

1. 1 — ספרות האחדות של חזקות 3 חוזרות במחזור 4: 3,9,7,1,... 100÷4=25 שלם, ולכן ספרת האחדות היא 1.
2. 256 — 2⁸ = 256.
3. x³ — x⁵ / x² = x^(5−2) = x³.
4. 1/8 — 2⁻³ = 1/2³ = 1/8.
5. 3 — 125 = 5³, לכן x = 3.
6. 32 — log₂(x) = 5 פירושו 2⁵ = x = 32.
7. √13 + 5 — √(4 + 9) + √(16 + 9) = √13 + √25 = √13 + 5.
8. 6 — ∛(27 × 8) = ∛27 × ∛8 = 3 × 2 = 6.
9. 13 — ∛125 = 5, √64 = 8. 5 + 8 = 13.
10. 1024 — ספרת עשרות: 2 — 2^10 = 1024. ספרת העשרות היא 2.
11. 8100 — N(4) = 100 · 3⁴ = 100 · 81 = 8100.
12. 12 × 10⁻²³ גרם — מסת מולקולה = 12/10²³ = 12 × 10⁻²³ גרם.
13. x = 4 — 81 = 3⁴. לכן x = 4.
14. 7 — (0.9)^x < 0.5. x·ln(0.9) < ln(0.5). x > ln(0.5)/ln(0.9) ≈ 6.58. x = 7.
15. 21 — 10²⁰ = 1 ואחריו 20 אפסים — סה״כ 21 ספרות.
16. 9 — (√3)⁴ = ((√3)²)² = 3² = 9.
17. 4 — 2³ · 2⁴ = 2⁷. 2⁷ / 2⁵ = 2² = 4.
18. x¹² — (x³)⁴ = x^(3·4) = x¹².
19. x³ — חוק: a^m / a^n = a^(m−n) = x^(5−2) = x³.
20. 1/16 — 4^(−2) = 1/4² = 1/16.
21. 64 — (2³)² = 2^(3×2) = 2⁶ = 64.
22. a³ — a⁵ / a² = a^(5−2) = a³.
23. 12 — 12 × 12 = 144, לכן √144 = 12.
24. 2 — ∛8 = 2 כי 2³ = 8.
25. 5 — כלל המכפלה: log(a · b) = log(a) + log(b) = 3 + 2 = 5.
26. 3 — כלל המנה: log(a/b) = log(a) − log(b) = 5 − 2 = 3.
27. 9 — log₂(8³) = 3 · log₂(8) = 3 · 3 = 9.
28. 3 — log₁₀(100) = 2, log₁₀(10) = 1. הסכום: 2 + 1 = 3.
29. 2 — log(10²) = 2 · log(10) = 2 · 1 = 2. (log = log₁₀)
30. 2 — log₂(16) − log₂(4) = log₂(16/4) = log₂(4) = 2.
31. 5 — log₃(3⁵) = 5 · log₃(3) = 5 · 1 = 5.
32. a · b = c — כלל המכפלה: log(a) + log(b) = log(a · b). לכן a · b = c.
33. 1.5 — √8 = 8^(1/2). log₂(8^(1/2)) = (1/2) · log₂(8) = (1/2) · 3 = 1.5.
34. 2 — log₁₀(10) = 1. לכן 2 · log₁₀(10) = 2 · 1 = 2.
35. 0 — log₅(1) = 0 כי 5⁰ = 1. log של 1 בכל בסיס שווה 0.
36. 6 — log₂(32) = 5, log₂(2) = 1. הסכום: 5 + 1 = 6. (שקול ל־log₂(64) = 6)
37. 5 — log₁₀(100 · 1000) = log₁₀(100) + log₁₀(1000) = 2 + 3 = 5.
38. 5 — log₃(243) = 5 כי 3⁵ = 243.
39. 7 — pH = −log(10⁻⁷) = −(−7) = 7.
40. 5 — log₂(8 · 4) = log₂(8) + log₂(4) = 3 + 2 = 5.