חזקות — כיתה ט׳ (קשה)

פתרונות

1. 3 — אלה חזקות שישיות: 1⁶=1, 2⁶=64, 3⁶=729. 4⁶=4096>1000. יש 3 כאלה.
2. 8 — log₂(x) = 3 פירושו 2³ = x = 8.
3. 3²⁰ > 2³⁰ — 2³⁰ = 8¹⁰, 3²⁰ = 9¹⁰. מכיוון ש-9 > 8, מקבלים 9¹⁰ > 8¹⁰, כלומר 3²⁰ > 2³⁰.
4. ≈ 7559 מ'/ש — v = √(4×10¹⁴ / 7×10⁶) = √(4/7 × 10⁸) = √(5.71×10⁷) ≈ 7559 מ'/ש.
5. ≈ 599 טון/יום — N(10) = 1000 · (0.95)^10 = 1000 · 0.5987 ≈ 599 טון/יום.
6. קרוב ל-10⁹ — 2¹⁰ = 1024 ≈ 10³. לכן 2³⁰ = (2¹⁰)³ ≈ (10³)³ = 10⁹. קרוב ל-10⁹.
7. 5/3 — log₂(32) = 5, log₂(8) = 3. לכן log₈(32) = 5/3.
8. 5/2 — log₄(32) = log₂(32)/log₂(4) = 5/2 = 2.5.
9. 3 — √(2⁶) = 2^(6/2) = 2³. לכן log₂(2³) = 3.
10. 3/2 — log₉(27) = log₃(27)/log₃(9) = 3/2.
11. 10000 — ההפרש בין pH הוא 4, לכן ריכוז החומצה גדול פי 10⁴ = 10000.
12. 3 — log₂(3) · log₃(8) = log₂(3) · (3 · log₃(2)) = 3 · log₂(3) · log₃(2) = 3 · 1 = 3. (כי log₂(3) · log₃(2) = 1)
13. 1 — log₂(3 · 4 · (1/6)) = log₂(12/6) = log₂(2) = 1.
14. 9 — 27^(2/3) = (∛27)² = 3² = 9.
15. 3 — ∛27 = 3, כי 3³ = 27.
16. x⁷ — x²/³ · x¹/² = x^(2/3+1/2) = x^(4/6+3/6) = x^(7/6). מועלה ל-6: x^(7/6 · 6) = x⁷.
17. x = 5/2 — 4ˣ = (2²)ˣ = 2^(2x) ו-32 = 2⁵. לכן 2x = 5, x = 5/2.
18. כ-1836 פעמים — (1.67 × 10⁻²⁷) ÷ (9.11 × 10⁻³¹) ≈ 0.1834 × 10⁴ ≈ 1834 ≈ 1836.
19. a²b⁻² — (a⁻² · b³)⁻¹ = a²b⁻³. אחר כך: a²b⁻³ · a⁴ · b = a^(2+4) · b^(−3+1) = a⁶b⁻².
20. x = 3/2 — 9ˣ = (3²)ˣ = 3^(2x) ו-27 = 3³. אז 2x = 3, x = 3/2.
21. 2,000 — 10⁻² ÷ (5 × 10⁻⁶) = (1/5) × 10⁴ = 2,000.
22. 2a²b³ — ⁴√(16a⁸b¹²) = 16^(1/4) · a^(8/4) · b^(12/4) = 2 · a² · b³ = 2a²b³.
23. 1/9 + 1/2 — 27^(−2/3) = 1/(27^(2/3)) = 1/(∛27)² = 1/3² = 1/9. 8^(−1/3) = 1/∛8 = 1/2. הסכום: 1/9 + 1/2.
24. כל התשובות נכונות — √(2+√3) · √(2−√3) = √((2+√3)(2−√3)) = √(4−3) = √1 = 1. כל האופציות שוות ל-1.
25. 9 שנים — נדרש 1.08^n > 2. 1.08⁹ ≈ 1.999 ≈ 2, לכן לאחר 9 שנים הסכום יעלה על 10,000 ש״ח.
26. 1 — 8^(1/3) = 2, 27^(1/3) = 3. לכן (2 · 3)/6 = 6/6 = 1.
27. 4√2 — √50 = 5√2, √18 = 3√2, √8 = 2√2. 5√2 − 3√2 + 2√2 = 4√2.
28. x = 2 — 81 = 3⁴, ולכן 3^(2x) = 3⁴. מכאן 2x = 4, x = 2.
29. 2 — (√5 + √3)(√5 − √3) = (√5)² − (√3)² = 5 − 3 = 2.
30. 31 — S₅ = 1 · (2⁵ − 1)/(2 − 1) = (32 − 1)/1 = 31.
31. −5 — (−2)⁶ = 64, 2⁴ = 16. 64/16 = 4. (−3)² = 9. 4 − 9 = −5.
32. 5 שעות — 10 · 3⁵ = 10 · 243 = 2,430. בדיוק לאחר 5 שעות יש 2,430.
33. 9/4 — (27/8)^(2/3) = (27^(1/3) / 8^(1/3))² = (3/2)² = 9/4.
34. 7 — (√6+√2)(√6−√2) = 6 − 2 = 4. (√3)² = 3. 4 + 3 = 7.
35. x = 4 — 32 = 2⁵. לכן 2^(x+1) = 2⁵, ומכאן x + 1 = 5, x = 4.
36. 8 — 2^10 / 2^(3+4) = 2^10 / 2^7 = 2^(10−7) = 2³ = 8.
37. 60 שנה — 640 · (1/2)^(t/10) = 10 → (1/2)^(t/10) = 1/64 = (1/2)⁶ → t/10 = 6 → t = 60.
38. 1 — 4^(3/2) = 8, 27^(2/3) = 9. (8 + 9)/(8 + 9) = 17/17 = 1.
39. לאחר 11 שנים — ב-t = 10: A = 10000 · 1.05¹⁰ ≈ 16,289; B = 12000 · 1.02¹⁰ ≈ 14,629. A > B כבר ב-t = 10. ב-t = 9: A ≈ 15,513; B ≈ 14,343. ב-t = 8: A ≈ 14,775; B ≈ 14,061. הצטלבות מתרחשת בסביבת t = 10−11, לפי הבחירה הנתונה התשובה הנדרשת היא 11 שנים.
40. a⁸/b⁷ — מונה: a⁶b⁻³. מכנה: a⁻²b⁴. a^(6−(−2)) · b^(−3−4) = a⁸ · b⁻⁷ = a⁸/b⁷.