חזקות — כיתה ט׳ (קשה)

פתרונות

1. 3 — אלה חזקות שישיות: 1⁶=1, 2⁶=64, 3⁶=729. 4⁶=4096>1000. יש 3 כאלה.
2. 8 — log₂(x) = 3 פירושו 2³ = x = 8.
3. 3²⁰ > 2³⁰ — 2³⁰ = 8¹⁰, 3²⁰ = 9¹⁰. מכיוון ש-9 > 8, מקבלים 9¹⁰ > 8¹⁰, כלומר 3²⁰ > 2³⁰.
4. ≈ 7559 מ'/ש — v = √(4×10¹⁴ / 7×10⁶) = √(4/7 × 10⁸) = √(5.71×10⁷) ≈ 7559 מ'/ש.
5. ≈ 599 טון/יום — N(10) = 1000 · (0.95)^10 = 1000 · 0.5987 ≈ 599 טון/יום.
6. קרוב ל-10⁹ — 2¹⁰ = 1024 ≈ 10³. לכן 2³⁰ = (2¹⁰)³ ≈ (10³)³ = 10⁹. קרוב ל-10⁹.
7. 5/3 — log₂(32) = 5, log₂(8) = 3. לכן log₈(32) = 5/3.
8. 5/2 — log₄(32) = log₂(32)/log₂(4) = 5/2 = 2.5.
9. 3 — √(2⁶) = 2^(6/2) = 2³. לכן log₂(2³) = 3.
10. 3/2 — log₉(27) = log₃(27)/log₃(9) = 3/2.
11. 10000 — ההפרש בין pH הוא 4, לכן ריכוז החומצה גדול פי 10⁴ = 10000.
12. 3 — log₂(3) · log₃(8) = log₂(3) · (3 · log₃(2)) = 3 · log₂(3) · log₃(2) = 3 · 1 = 3. (כי log₂(3) · log₃(2) = 1)
13. 1 — log₂(3 · 4 · (1/6)) = log₂(12/6) = log₂(2) = 1.
14. 9 — 27^(2/3) = (∛27)² = 3² = 9.
15. 3 — ∛27 = 3, כי 3³ = 27.
16. x⁷ — x²/³ · x¹/² = x^(2/3+1/2) = x^(4/6+3/6) = x^(7/6). מועלה ל-6: x^(7/6 · 6) = x⁷.
17. x = 5/2 — 4ˣ = (2²)ˣ = 2^(2x) ו-32 = 2⁵. לכן 2x = 5, x = 5/2.
18. כ-1836 פעמים — (1.67 × 10⁻²⁷) ÷ (9.11 × 10⁻³¹) ≈ 0.1834 × 10⁴ ≈ 1834 ≈ 1836.
19. a²b⁻² — (a⁻² · b³)⁻¹ = a²b⁻³. אחר כך: a²b⁻³ · a⁴ · b = a^(2+4) · b^(−3+1) = a⁶b⁻².
20. x = 3/2 — 9ˣ = (3²)ˣ = 3^(2x) ו-27 = 3³. אז 2x = 3, x = 3/2.