מספרים שלמים — כיתה ט׳ (קל)

פתרונות

1. 8 — הראשוניים בין 1 ל־20: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 — סך הכול 8 מספרים.
2. 12 — 36 = 4 × 9, 48 = 4 × 12. ה-מ.מ.כ = 12 (36 = 3 × 12, 48 = 4 × 12).
3. 36 — 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3². מ.מ.ר = 2² × 3² = 36.
4. 1 — 2¹ ≡ 2, 2² ≡ 1 (mod 3). המחזוריות 2. 20 זוגי, לכן 2²⁰ ≡ 1 (mod 3).
5. 5 — 11, 13, 17, 19, 23 — סה״כ 5 ראשוניים.
6. 1, 4, 9, 36 — מחלקי 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. הריבועים המושלמים: 1 = 1², 4 = 2², 9 = 3², 36 = 6².
7. כן, תמיד — מכפלת שני מספרים עוקבים תמיד כוללת לפחות מספר אחד זוגי, ולכן המכפלה זוגית.
8. √2 — √2 ≈ 1.41421... הוא אי-רציונלי — שבר עשרוני אינסופי שאינו מחזורי. שאר המספרים הם רציונליים.
9. 7 — ערך מוחלט הוא המרחק מ-0 על ציר המספרים. |−7| = 7.
10. √−4 — √−4 אינו ממשי — שורש ריבועי של מספר שלילי שייך למספרים מרוכבים.
11. 2√3 — √12 = √(4 · 3) = √4 · √3 = 2√3.
12. לא, π הוא אי-רציונלי — π הוא מספר אי-רציונלי — שבר עשרוני אינסופי שאינו מחזורי. 22/7 הוא רק קירוב.
13. 5√2 — √50 = √(25 · 2) = √25 · √2 = 5√2.
14. x = 5 או x = −5 — |x| = 5 פירושו x = 5 או x = −5, כי שני המספרים הם במרחק 5 מ-0.
15. רציונלי, כי √9 = 3 — √9 = 3 = 3/1, ולכן הוא מספר רציונלי שלם.
16. 4 — √2 · √8 = √(2 · 8) = √16 = 4.
17. מספרים ממשיים — מספרים שלמים הם תת-קבוצה של הרציונליים, שהם תת-קבוצה של הממשיים.
18. 5√3 — √75 = √(25 · 3) = 5√3.
19. כן, e הוא אי-רציונלי ואפילו טרנסצנדנטי — e ≈ 2.71828... הוא שבר עשרוני אינסופי שאינו מחזורי — מספר אי-רציונלי.
20. 15° — הפרש: 12 − (−3) = 12 + 3 = 15°.
21. 20 — מינוס כפול מינוס שווה פלוס: (−4) × (−5) = 20.