מבחנים מיוחדים — כיתה כיתה ט׳

פתרונות:

1. 6 — על-פי וייטה לפולינום ממעלה 3 עם מקדם מוביל 1: סכום השורשים שווה למינוס המקדם של x² בסימן הפוך. המקדם של x² הוא −6, לכן סכום השורשים = 6. (ניתן לאמת: שורשים הם 1,2,3 ו-1+2+3=6.)
2. 13 — x² + y² = (x+y)² − 2xy = 25 − 12 = 13. הזהות האלגברית הזו מאפשרת חישוב ישיר ללא פתרון המשוואה לגורמים.
3. k = 1 — לשורש כפול הדיסקרימיננטה Δ = 0. כאן Δ = (−2)² − 4·k·1 = 4 − 4k = 0, ולכן k = 1. (כאשר k=0 המשוואה לינארית ואין שורש כפול.)
4. −9 — על-פי משפט השארית, השארית = P(2) = 16 − 24 + 4 − 5 = −9. שגיאה נפוצה: P(2)=16−24+4−5=−9. התשובה הנכונה היא −9.
5. 2 — שורשי x² − 4x + 3 = 0 הם x = 1 ו-x = 3 (פירוק: (x−1)(x−3)=0). לכן |AB| = 3 − 1 = 2.
6. 12/25 — sin α = 3/5 ⟹ במשולש 3-4-5: cos α = 4/5. לכן sin α · cos α = (3/5) · (4/5) = 12/25.
7. (2, 5) — הפרבולה פונה כלפי מטה (a=−2<0). ראש הפרבולה: x = −b/(2a) = −8/(2·(−2)) = 2. y(2) = −2·4 + 16 − 3 = −8 + 16 − 3 = 5. לכן המקסימום הוא (2, 5).
8. 3/4 — 1³ + (1/2)² − 1/2 = 1 + 1/4 − 1/2 = 4/4 + 1/4 − 2/4 = 3/4.
9. מרכז (3, −2), רדיוס 5 — משוואת מעגל: (x−a)² + (y−b)² = r². כאן a=3, b=−2, r²=25 ⟹ r=5. מרכז: (3, −2), רדיוס: 5.
10. 12/5 — נוסחת מרחק מנקודה (x₀,y₀) לישר ax+by+c=0: d = |ax₀+by₀+c|/√(a²+b²). d = |3(1)−4(−1)+5|/√(9+16) = |3+4+5|/5 = 12/5.
11. k = 3 — שני ישרים מאונכים אם מכפלת שיפועיהם = −1. כאן 2 × (−1/2) = −1 ✓ — הם תמיד מאונכים. הנקודה על ציר y עם y=3 היא (0,3). בישר השני: 3 = −0/2 + k ⟹ k = 3.
12. 4:9 — בשני צורות דומות, יחס השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון. (2/3)² = 4/9, לכן יחס השטחים הוא 4:9.
13. 4.8 — המשולש ישר זווית (6²+8²=36+64=100=10²). השטח = ½·AB·AC = ½·8·6 = 24. גם שטח = ½·BC·AD ⟹ 24 = ½·10·AD ⟹ AD = 4.8.
14. 9 — קו האמצע בטרפז מחבר אמצעי הרגליים ואורכו = (AB + CD)/2 = (12 + 6)/2 = 18/2 = 9.
15. 75 — מ.מ.כ.(4,6)=12. מספרים בני 3 ספרות המתחלקים ב-12: הראשון 108, האחרון 996. מספרם: (996−108)/12 + 1 = 888/12 + 1 = 74 + 1 = 75.
16. 10 — בוחרים 3 מתוך 5 לקבוצה A (השאר הולכים ל-B): C(5,3) = 10. ניתן גם C(5,2)=10.
17. 1 — חזקות 7 מסתיימות במחזור: 7¹=7, 7²=49 (9), 7³=343 (3), 7⁴=2401 (1), ואז חוזר. המחזור 7,9,3,1 הוא באורך 4. 100÷4=25 שארית 0 ⟹ ספרת האחדות = 1.
18. 820 — נוסחת סכום סדרה חשבונית: Sₙ = n/2·(2a₁ + (n−1)d). S₂₀ = 20/2·(2·3 + 19·4) = 10·(6 + 76) = 10·82 = 820.
19. 242 — נוסחת סכום סדרה הנדסית: Sₙ = a₁·(qⁿ−1)/(q−1). S₅ = 2·(3⁵−1)/(3−1) = 2·(243−1)/2 = 242.
20. 28 — a₇ − a₃ = 4d ⟹ 19 − 7 = 12 = 4d ⟹ d = 3. a₃ = a₁ + 2d ⟹ 7 = a₁ + 6 ⟹ a₁ = 1. a₁₀ = a₁ + 9d = 1 + 27 = 28.
21. 2 < x < 3 — פרק: (x−2)(x−3)<0. הביטוי שלילי בין השורשים (כי מקדם x² חיובי ופרבולה פונה מעלה). לכן: 2 < x < 3.
22. x > 2 — ראש הפרבולה בx = 2 (מינימום, כי a=1>0). הפונקציה עולה מימין לראש: x > 2.
23. (2, 5) ו-(7, 2) — נסה y=1: 3x=26 — לא שלם. y=2: 3x=21 ⟹ x=7 ✓. y=3: 3x=16 — לא שלם. y=4: 3x=11 — לא שלם. y=5: 3x=6 ⟹ x=2 ✓. y=6: 3x=1 — לא שלם. לכן שני פתרונות: (7,2) ו-(2,5).
24. 3 — x² − y² = (x+y)(x−y) = 48. נסמן s=x+y, t=x−y. אז st=48, s>t>0, ו-x=(s+t)/2, y=(s−t)/2 שלמים חיוביים ⟹ s ו-t חייבים להיות בעלי אותה זוגיות. שניהם זוגיים: (s,t)=(24,2)⟹x=13,y=11; (12,4)⟹x=8,y=4; (8,6)⟹x=7,y=1. שניהם אי-זוגיים: אי-אפשרי כי 48 זוגי. בסך הכל 3 פתרונות.
25. 30 — סכום 4 הקפיצות: 1² + 2² + 3² + 4² = 1 + 4 + 9 + 16 = 30. אם מיקום ההתחלה הוא x, אז x + 30 = 60 ⟹ x = 30.
26. 21 — לפי וייטה: a+b+c = 7, ab+bc+ca = 14. ולכן a²+b²+c² = (a+b+c)² − 2(ab+bc+ca) = 49 − 28 = 21. (השורשים הם 1, 2, 4 ו-1+4+16 = 21.)
27. 19/3 — r/s + s/r = (r² + s²)/(rs). לפי וייטה: r+s=5, rs=3. r²+s² = 25 − 6 = 19. לכן הביטוי = 19/3.
28. −18 — זהות חשובה: a³+b³+c³ − 3abc = (a+b+c)(a²+b²+c² − ab−bc−ca). מכיוון ש-a+b+c=0 הצד הימני מתאפס, ולכן a³+b³+c³ = 3abc = 3·(−6) = −18. (אימות: השורשים 1, 2, −3 נותנים 1 + 8 − 27 = −18.)
29. (x² + 2x + 2)(x² − 2x + 2) — זהות סופי-ז'רמן: x⁴ + 4 = x⁴ + 4x² + 4 − 4x² = (x²+2)² − (2x)² = (x²+2−2x)(x²+2+2x). אימות בפתיחה: (x²+2x+2)(x²−2x+2) = x⁴+4.
30. 47 — לפי וייטה: α+β=3, αβ=1. α²+β² = 9 − 2 = 7. α⁴+β⁴ = (α²+β²)² − 2(αβ)² = 49 − 2 = 47.
31. −3/8 — (sin x + cos x)² = sin²x + cos²x + 2 sin x cos x = 1 + 2 sin x cos x. ולכן 1/4 = 1 + 2 sin x cos x ⟹ 2 sin x cos x = −3/4 ⟹ sin x cos x = −3/8.
32. 4/5 — חלק מונה ומכנה ב-cos²x: sin²x − cos²x = (sin²x − cos²x)/(sin²x + cos²x) = (tan²x − 1)/(tan²x + 1) = (9 − 1)/(9 + 1) = 8/10 = 4/5.
33. 3 — נציב u = cos x: 2u² − 3u + 1 = 0 ⟹ (2u−1)(u−1) = 0 ⟹ u = 1/2 או u = 1. cos x = 1 בתחום [0, 2π) נותן x = 0. cos x = 1/2 נותן x = π/3 ו-x = 5π/3. בסך הכול שלושה פתרונות.
34. tan x — 1 − cos 2x = 2 sin²x ו-sin 2x = 2 sin x cos x. לכן הביטוי שווה ל-(2 sin²x)/(2 sin x cos x) = sin x / cos x = tan x.
35. 7√2 — המרחק מ-O(0,0) לישר x − y + 1 = 0 הוא d = |1|/√2 = 1/√2. אורך המיתר = 2√(r² − d²) = 2√(25 − 1/2) = 2√(49/2) = 2·(7/√2) = 7√2. (שים לב: √98 = 7√2 — זו אותה ערך מבחינה מתמטית.)
36. 4 — אורך משיק מנקודה חיצונית P למעגל = √(d² − r²), כאשר d הוא המרחק מ-P למרכז המעגל. כאן d = 5, r = 3, ולכן אורך המשיק = √(25 − 9) = √16 = 4.
37. 3 — מרכזי המעגלים הם (0,0) ו-(3,0), המרחק ביניהם 3. r₁ + r₂ = 2 + 1 = 3 = המרחק. לכן המעגלים משיקים מבחוץ. לשני מעגלים המשיקים מבחוץ יש 3 משיקים משותפים: שני משיקים חיצוניים ומשיק פנימי אחד בנקודת ההשקה.
38. √5 — המעגל הכללי x² + y² + Dx + Ey + F = 0. הצבת (0,0) נותנת F = 0. הצבת (4,0): 16 + 4D = 0 ⟹ D = −4. הצבת (0,2): 4 + 2E = 0 ⟹ E = −2. המרכז הוא (2, 1) והרדיוס √(2² + 1² − F) = √5.
39. 25 — לפי AM-GM: √(ab) ≤ (a+b)/2 = 5, ולכן ab ≤ 25. שוויון מתקיים כאשר a = b = 5, ואכן 5·5 = 25.
40. 2 — לפי AM-GM: x + 1/x ≥ 2√(x · 1/x) = 2√1 = 2. שוויון מתקיים כאשר x = 1/x, כלומר x = 1.