אלגברה — כיתה ט׳ (בינוני)

פתרונות

1. x = 2 או x = 3 — Δ = 25 − 24 = 1. x = (5 ± 1)/2. x₁ = 3, x₂ = 2.
2. (2x + 1)(x + 3) — (2x + 1)(x + 3) = 2x² + 6x + x + 3 = 2x² + 7x + 3. ✓
3. x − 3 — (x² − 9)/(x + 3) = (x − 3)(x + 3)/(x + 3) = x − 3.
4. x = 2 או x = −2 — 2x² = 8, x² = 4, x = ±2.
5. x = 3 או x = −7 — x + 2 = 5 → x = 3, או x + 2 = −5 → x = −7.
6. √3/3 — 1/√3 = √3/(√3 · √3) = √3/3.
7. x = 2, y = 4 או x = −1, y = 1 — x² = x + 2 → x² − x − 2 = 0 → (x − 2)(x + 1) = 0. x = 2 → y = 4; x = −1 → y = 1.
8. 3(x − 2)(x + 2) — 3x² − 12 = 3(x² − 4) = 3(x − 2)(x + 2).
9. 2x/(x² − 1) — מכנה משותף (x + 1)(x − 1) = x² − 1. (x − 1 + x + 1)/(x² − 1) = 2x/(x² − 1).
10. x = 3 או x = 4 — מחפשים שני מספרים שמכפלתם 12 וסכומם 7: הם 3 ו־4. (x − 3)(x − 4) = 0. x = 3 או x = 4.
11. x > 2 או x < −2 — x² > 4 מתקיים כש־|x| > 2, כלומר x > 2 או x < −2.
12. x = 4 — √(x + 5) = 3 → x + 5 = 9 → x = 4. בדיקה: √9 = 3. ✓
13. 9; 3 — x² + 6x + 9 = (x + 3)². השלמה לריבוע: (6/2)² = 9.
14. x > 3 או x < −2 — 2x − 1 > 5 → x > 3, או 2x − 1 < −5 → 2x < −4 → x < −2.
15. (x − 2)(x² + 2x + 4) — x³ − 8 = x³ − 2³ = (x − 2)(x² + 2x + 4).
16. x/2 — (2x²)/(4x) = (2/4) · (x²/x) = (1/2) · x = x/2.
17. x = 5 או x = −1 — Δ = 16 + 20 = 36. x = (4 ± 6)/2. x₁ = 5, x₂ = −1.
18. תמיד חיובי — x² ≥ 0 לכל x, ולכן x² + 1 ≥ 1 > 0 — תמיד חיובי.
19. (x + 1)/x — מונה: (x − 1)(x + 1). מכנה: x(x − 1). תוצאה: (x + 1)/x.
20. x = 4 — העלו לריבוע: 2x − 3 = x + 1 → x = 4. בדיקה: √5 = √5. ✓
21. −2 ≤ x ≤ 3 — שורשי x² − x − 6 = (x − 3)(x + 2): x = 3 ו־x = −2. הפרבולה שלילית בין השורשים.
22. (x − 2)/(x + 2) — מכנה זהה: (x − 2)/(x + 2).
23. (3x − 2)(2x + 1) — (3x − 2)(2x + 1) = 6x² + 3x − 4x − 2 = 6x² − x − 2. ✓
24. x = 1 או x = −5 — x² + 4x = 5 → (x + 2)² − 4 = 5 → (x + 2)² = 9 → x + 2 = ±3 → x = 1 או x = −5.
25. 5√2 — √8 = 2√2, √18 = 3√2. סכום: 5√2.
26. 2x/(x + 1) — (x/2) · (4/(x + 1)) = 4x/(2(x + 1)) = 2x/(x + 1).
27. x = 5 או x = −2 — x² − 3x − 10 = 0. (x − 5)(x + 2) = 0. x = 5 או x = −2.
28. 5(√7 + √2)/5 — כפלו ב־(√7 + √2): 5(√7 + √2)/((√7)² − (√2)²) = 5(√7 + √2)/(7 − 2) = 5(√7 + √2)/5 = √7 + √2.
29. 1 — (x² − 4)/(x + 2) = (x − 2)(x + 2)/(x + 2) = x − 2. אז (x − 2) ÷ (x − 2) = 1.
30. x = 3, y = 3 או x = −3, y = −3 — הציבו y = x: x² + x² = 18 → 2x² = 18 → x² = 9 → x = ±3. פתרונות: (3, 3) ו-(−3, −3).
31. x = 5 או x = −1 — 3x − 6 = 9 → 3x = 15 → x = 5. או 3x − 6 = −9 → 3x = −3 → x = −1.
32. x = 4 — √x = x − 2. העלו לריבוע: x = (x − 2)² = x² − 4x + 4 → x² − 5x + 4 = 0 → (x − 1)(x − 4) = 0. x = 1: √1 = 1, x − 2 = −1 — לא מתאים. x = 4: √4 = 2, 4 − 2 = 2. ✓
33. Δ = −8; אין פתרונות ממשיים — Δ = 2² − 4 · 3 · 1 = 4 − 12 = −8 < 0. אין פתרונות ממשיים.
34. (x + 3)(x² − 3x + 9) — x³ + 27 = x³ + 3³ = (x + 3)(x² − 3x + 9). נוסחת סכום קוביות.
35. −4 < x < 2 — x² + 2x − 8 = (x + 4)(x − 2). שורשים: −4 ו־2. הפרבולה שלילית בין השורשים: −4 < x < 2.
36. 10 — √5 · √20 = √(5 · 20) = √100 = 10.
37. k = 4 — Δ = (−4)² − 4 · k · 1 = 16 − 4k = 0 → k = 4.
38. (x − 2)/(x + 2) — מונה: (x − 2)². מכנה: (x − 2)(x + 2). תוצאה: (x − 2)/(x + 2).
39. x = 10 — √(x − 1) = 3 → x − 1 = 9 → x = 10. בדיקה: √9 + 2 = 5. ✓
40. x = 2, y = 3 או x = 3, y = 2 — x ו־y הם שורשי t² − 5t + 6 = 0: (t − 2)(t − 3) = 0. t = 2 או t = 3.