חזקות — כיתה ח׳ (קשה)

פתרונות

1. 2⁴·3² — (2³·3²)² = 2⁶·3⁴. (2·3)² = 2²·3². חלוקה לפי בסיסים: 2⁶⁻²·3⁴⁻² = 2⁴·3².
2. a⁵ — (a²)³ = a⁶. במונה: a⁶·a⁴ = a¹⁰. אחר כך a¹⁰ : a⁵ = a⁵.
3. 5⁴ — בסוגריים: 5²·5³ = 5⁵. אחר כך (5⁵)² = 5¹⁰. בסוף 5¹⁰ : 5⁶ = 5⁴.
4. 27x⁶y³ — (3x²y)³ = 3³·(x²)³·y³ = 27·x⁶·y³ = 27x⁶y³.
5. 25x⁴ — (10x³)² = 100x⁶. (2x)² = 4x². חלוקה: 100x⁶ : 4x² = 25·x⁶⁻² = 25x⁴.
6. 4 — (2³)ⁿ = 2³ⁿ. כדי ש־3n = 12, מקבלים n = 4.
7. 2⁸ — אחרי 5 שעות הכמות גדלה פי 2⁵, כך שמקבלים 2³·2⁵ = 2³⁺⁵ = 2⁸ חיידקים.
8. x⁶y³ — מונה: (x⁴·y²)³ = x¹²·y⁶. מכנה: (x²·y)³ = x⁶·y³. חלוקה: x¹²⁻⁶·y⁶⁻³ = x⁶y³.
9. 4 — 4³·4² = 4⁵. אחר כך 4⁵ : 4⁴ = 4¹ = 4.
10. 2⁴ — (2·3)² = 2²·3². (2³)² = 2⁶. מונה: 2²·3²·2⁶ = 2⁸·3². חלוקה במכנה 2⁴·3²: 2⁸⁻⁴·3²⁻² = 2⁴·3⁰ = 2⁴.
11. 9 — מחזור ספרות 7: 7,9,3,1. 2026 mod 4 = 2. ספרה במקום 2 במחזור = 9.
12. 6 — 128 = 2⁷. לכן x+1=7, x=6.
13. 4 שעות — 1,024 · 2⁴ = 1,024 · 16 = 16,384 > 10,000. בעוד 3 שעות: 1,024 · 8 = 8,192 < 10,000. לכן 4 שעות נוספות.
14. 13,310 ש״ח — 10,000 · (1.1)³ = 10,000 · 1.331 = 13,310 ש״ח.
15. 10²⁴ — 6.02 × 10²³ קרוב יותר ל-10²⁴ (=10 × 10²³) מאשר ל-10²³, כי 6.02 > 5.
16. 6 × 10⁴ — (2.7 + 3.3) × 10⁴ = 6 × 10⁴.
17. 7 × 10⁵ — (3.5 × 2) × (10³ × 10²) = 7 × 10⁵.
18. ab⁴ — (a²b³)² = a⁴b⁶. a⁴b⁶ ÷ a³b² = a^(4−3) · b^(6−2) = a¹b⁴ = ab⁴.
19. x³ — x⁴ · x² = x⁶. x⁶ / x³ = x^(6−3) = x³.
20. 16/81 — (2³ · 2¹) / (3² · 3²) = 2⁴ / 3⁴ = 16/81.
21. 2 × 10⁻² — (3 × 4 / 6) × 10^(5 + (−3) − 4) = 2 × 10⁻² = 0.02.
22. 16000 — 10 שעות = 5 מחזורי כפל. 500 × 2⁵ = 500 × 32 = 16000.
23. יותר מ־30 שנה — אחרי 30 שנה: 1000 × (1/2)³ = 125 גרם > 100. אחרי 40 שנה: 62.5 גרם < 100. לכן בין 30 ל־40 שנה, כלומר יותר מ־30 שנה.
24. x — (x^(2/3))³ = x² ולכן x² / x = x.
25. x = −5 — 1/32 = 1/2⁵ = 2⁻⁵, ולכן x = −5.
26. 2x² — ∛(8x⁶) = ∛8 · ∛(x⁶) = 2 · x² = 2x².
27. כ־8.3 × 10⁸ שניות — זמן = מרחק / מהירות = (2.5 × 10¹⁷) / (3 × 10⁸) ≈ 0.833 × 10⁹ = 8.33 × 10⁸ שניות.
28. 1/8 — 2⁻³ = 1/2³ = 1/8.
29. 7 — ∛1000 = 10, ∛125 = 5, ∛8 = 2. לכן 10 − 5 + 2 = 7.
30. 3 — מעבירים אגף: x³ = 27, ומכאן x = ∛27 = 3.
31. 5 — מחלקים ב־2: x³ = 125. מוציאים שורש שלישי: x = ∛125 = 5.
32. 12 — מפצלים את השורש השלישי למכפלה: ∛(64 ⋅ 27) = ∛64 ⋅ ∛27 = 4 ⋅ 3 = 12.
33. 5 — ∛(1000 : 8) = ∛125 = 5. אפשר גם ∛1000 : ∛8 = 10 : 2 = 5.
34. פי 3 — אורך הצלע ההתחלתי הוא ∛8 = 2 ס״מ, והסופי הוא ∛216 = 6 ס״מ. היחס הוא 6 : 2 = 3, כלומר פי 3.
35. 17 — ∛512 = 8, √100 = 10, ∛1 = 1. לכן 8 + 10 − 1 = 17.
36. 3 — מעבירים אגף: x³ = 27, ולכן x = ∛27 = 3.
37. 10 ס״מ — מהנוסחה V = a³ נקבל a = ∛1000 = 10 ס״מ.
38. 17 — ∛27 = 3, ולכן (∛27)² = 9. (∛8)³ = 8 (כי ההעלאה בחזקת 3 מבטלת את השורש השלישי). סכום: 9 + 8 = 17.
39. 4.3×10⁵ — מאחדים למעריך זהה: 3×10⁴ = 0.3×10⁵, ולכן 4×10⁵ + 0.3×10⁵ = 4.3×10⁵.
40. 4×10⁻⁶ — (2×10⁻³)² = 2² × 10⁻³·² = 4×10⁻⁶.