גיאומטריה — כיתה ח׳

פתרונות

1. 5 — נוסחת המרחק: √((3−0)²+(4−0)²)=√(9+16)=√25=5.
2. 5 — √((4−1)²+(5−1)²)=√(9+16)=√25=5.
3. 3 — שיפוע = Δy/Δx = (6−0)/(2−0) = 6/2 = 3.
4. (4,6) — נקודת אמצע: ((2+6)/2, (4+8)/2) = (4,6).
5. y = 2x — ישר דרך ראשית הצירים (0,0) עם שיפוע m=2: y=2x.
6. (0,1) — חיתוך עם ציר y: x=0. y=3×0+1=1. נקודה: (0,1).
7. 4 — ישרים מקבילים — שיפועים שווים. שיפוע השני = 4.
8. 5 — √((2−(−1))²+(3−(−1))²)=√(3²+4²)=√25=5.
9. (2.5,0) — חיתוך עם ציר x: y=0. 0=−2x+5 → 2x=5 → x=2.5. נקודה: (2.5,0).
10. −1/3 — ישרים ניצבים: m₁×m₂=−1. 3×m₂=−1 → m₂=−1/3.
11. y = 2x + 1 — y−y₀=m(x−x₀) → y−3=2(x−1) → y=2x−2+3=2x+1.
12. y = 3x − 1 — שיפוע: (8−2)/(3−1)=6/2=3. y−2=3(x−1) → y=3x−1.
13. (0,−3) — הצב x=0: y=2×0−3=−3. נקודה (0,−3) על הישר ✓.
14. (2,5) — 2x+1=−x+7 → 3x=6 → x=2. y=2×2+1=5. נקודה (2,5).
15. כן, שיפוע 2 בכל מקרה — שיפוע AB: 2/1=2. שיפוע BC: (4−2)/(2−1)=2. שיפועים שווים → קולינאריות.
16. 6 — בסיס = 4 (על ציר x), גובה = 3 (על ציר y). שטח = ½×4×3=6.
17. y=3x+5 — מקביל → אותו שיפוע m=3. עובר דרך (0,5): b=5. y=3x+5.
18. y=−½x+4 — ניצב → m=−1/2. y−3=−½(x−2) → y=−½x+1+3=−½x+4.
19. B רחוקה יותר (√26) — |OA|=√(3²+4²)=√25=5. |OB|=√(5²+1²)=√26≈5.1. √26>5 → B רחוקה יותר.
20. 3/2 — בידד y: −2y=−3x−6 → y=3x/2+3. שיפוע = 3/2.
21. (1,−3) — נקודת אמצע: ((−3+5)/2, (1+(−7))/2)=(2/2,−6/2)=(1,−3).
22. לא מוגדר — x₁=x₂=2 → ישר אנכי. שיפוע ישר אנכי אינו מוגדר.
23. 4 — A ו-B על אותו ציר y=1. אורך AB = |5−1| = 4.
24. y=5 — שיפוע 0 = ישר אופקי. y=קבוע=5.
25. 4 — מרחק מציר x = ערך y המוחלט = |4| = 4.
26. 8 — בסיס AB=|5−1|=4 (על y=2). גובה=|6−2|=4. שטח=½×4×4=8.
27. (5,3) — P = A + (2/3)×(B−A). x=1+(2/3)×6=1+4=5. y=1+(2/3)×3=1+2=3.
28. y−b = −(a/b)(x−a) — שיפוע AB = b/a. ניצב: m=−a/b. דרך B(a,b): y−b=−(a/b)(x−a).
29. √2/2 — ישר y=x: x−y=0. מרחק = |3−4|/√(1²+1²)=1/√2=√2/2.
30. y = (3/2)x − 3.5 — נקודת אמצע M=(5,4). שיפוע AB=(2−6)/(8−2)=−2/3. ציר הסימטריה ניצב ל-AB: שיפוע=3/2. משוואה: y−4=(3/2)(x−5) → y=(3/2)x−7.5+4=(3/2)x−3.5.
31. 6 — שיפוע AB = 3/4. עבור C: k/8=3/4 → k=6.
32. 6/√10 — מרחק בין ישרים מקבילים ax+by+c₁=0, ax+by+c₂=0: |c₁−c₂|/√(a²+b²). כאן: 3x−y+1=0 ו-3x−y+7=0. מרחק=|1−7|/√(9+1)=6/√10.
33. (1,4) — AB אופקי, BC אנכי. D צריך להיות ב-x=1 (כמו A) וב-y=4 (כמו C). D=(1,4).
34. 4 — T=(0,t). |TA|²=9+t². |TB|²=25+(t−4)². שוויון: 9+t²=25+t²−8t+16. 9=41−8t. 8t=32. t=4. בדיקה: |TA|=√(9+16)=5, |TB|=√(25+0)=5 ✓.
35. 12 — המרובע הוא טרפז. בסיסים: AB=4 (על y=0), DC=|5−1|=4 (על y=3). גובה=3. שטח=(4+4)/2×3=12.
36. 0 או 4/3 — ישר: y=mx → mx−y=0. מרחק (2,1): |2m−1|/√(m²+1)=1. (2m−1)²=m²+1. 4m²−4m+1=m²+1. 3m²−4m=0. m(3m−4)=0. m=0 או m=4/3. בדיקה: m=0: |0−1|/1=1 ✓. m=4/3: |8/3−1|/√(16/9+1)=|5/3|/√(25/9)=5/3÷5/3=1 ✓.
37. 3√2 — BC: שיפוע=(4−0)/(2−6)=−1. ישר BC: y=−x+6 → x+y−6=0. גובה מ-A(0,0) ל-BC: |0+0−6|/√(1²+1²)=6/√2=3√2.
38. מרכז (4,4), מחצית-אלכסון=√13 — מרכז = נקודת אמצע אלכסון AC = ((1+7)/2,(2+6)/2)=(4,4). חצי אלכסון = מרחק מרכז ל-A = √((4−1)²+(4−2)²)=√(9+4)=√13.
39. −2 — זווית ישרה ב-A → AB⊥AC. וקטור AB=(3,4). וקטור AC=(k−2,3). מכפלה פנימית=0: 3(k−2)+4×3=0 → 3k−6+12=0 → 3k=−6 → k=−2. בדיקה: AC=(−4,3). AB·AC=3×(−4)+4×3=−12+12=0 ✓.
40. 4/√5 — המרחק בין שני ישרים מקבילים הוא הגובה. 2x−y+1=0 ו-2x−y+5=0. מרחק=|1−5|/√(4+1)=4/√5.