גיאומטריה — כיתה ח׳ (בינוני)

פתרונות

1. y = 2x + 1 — y−y₀=m(x−x₀) → y−3=2(x−1) → y=2x−2+3=2x+1.
2. y = 3x − 1 — שיפוע: (8−2)/(3−1)=6/2=3. y−2=3(x−1) → y=3x−1.
3. (0,−3) — הצב x=0: y=2×0−3=−3. נקודה (0,−3) על הישר ✓.
4. (2,5) — 2x+1=−x+7 → 3x=6 → x=2. y=2×2+1=5. נקודה (2,5).
5. כן, שיפוע 2 בכל מקרה — שיפוע AB: 2/1=2. שיפוע BC: (4−2)/(2−1)=2. שיפועים שווים → קולינאריות.
6. 6 — בסיס = 4 (על ציר x), גובה = 3 (על ציר y). שטח = ½×4×3=6.
7. y=3x+5 — מקביל → אותו שיפוע m=3. עובר דרך (0,5): b=5. y=3x+5.
8. y=−½x+4 — ניצב → m=−1/2. y−3=−½(x−2) → y=−½x+1+3=−½x+4.
9. B רחוקה יותר (√26) — |OA|=√(3²+4²)=√25=5. |OB|=√(5²+1²)=√26≈5.1. √26>5 → B רחוקה יותר.
10. 3/2 — בידד y: −2y=−3x−6 → y=3x/2+3. שיפוע = 3/2.
11. (1,−3) — נקודת אמצע: ((−3+5)/2, (1+(−7))/2)=(2/2,−6/2)=(1,−3).
12. לא מוגדר — x₁=x₂=2 → ישר אנכי. שיפוע ישר אנכי אינו מוגדר.
13. 4 — A ו-B על אותו ציר y=1. אורך AB = |5−1| = 4.
14. y=5 — שיפוע 0 = ישר אופקי. y=קבוע=5.
15. 4 — מרחק מציר x = ערך y המוחלט = |4| = 4.
16. (1372/3)π סמ״ק — V = (4/3)·π·7³ = (4/3)·π·343 = (1372/3)π סמ״ק.
17. (2048/3)π סמ״ק — V = (4/3)·π·8³ = (4/3)·π·512 = (2048/3)π סמ״ק.
18. 288π סמ״ק — הרדיוס הוא 6 ס״מ. V = (4/3)·π·6³ = (4/3)·π·216 = 288π סמ״ק.
19. 3 ס״מ — מהמשוואה (4/3)·π·r³ = 36π נקבל r³ = 27, ולכן r = 3 ס״מ.
20. 6 ס״מ — (4/3)·π·r³ = 288π ⟸ r³ = 216 ⟸ r = 6 ס״מ.
21. 2 ס״מ — (4/3)·π·r³ = (32/3)π ⟸ r³ = 8 ⟸ r = 2 ס״מ.
22. 9 ס״מ — (4/3)·π·r³ = 972π ⟸ r³ = 729 ⟸ r = 9 ס״מ.
23. 2 ס״מ — (4/3)·π·r³ = (4/3)π ⟸ r³ = 1 ⟸ r = 1 ס״מ. הקוטר הוא 2·r = 2 ס״מ.
24. ≈ 113.04 סמ״ק — V = 36π ≈ 36·3.14 = 113.04 סמ״ק.
25. 27 — הנפח תלוי ב־r³, ולכן הכפלת הרדיוס פי 3 מגדילה את הנפח פי 3³ = 27.
26. 8 — הנפח תלוי ב־r³. (1/2)³ = 1/8, ולכן הנפח קטן פי 8.
27. 1 : 8 — יחס הרדיוסים הוא 1:2, ולכן יחס הנפחים הוא 1³:2³ = 1:8.
28. 1 : 8 — יחס הרדיוסים 3:6 = 1:2, ולכן יחס הנפחים הוא 1:8.
29. 18π סמ״ק — נפח כדור שלם הוא 36π סמ״ק. נפח חצי כדור הוא 36π/2 = 18π סמ״ק.
30. 144π סמ״ק — V_כדור = 288π. חצי כדור — 288π/2 = 144π סמ״ק.
31. (2/3)·π·r³ — חצי כדור הוא חצי מנפח כדור שלם: ((4/3)·π·r³)/2 = (2/3)·π·r³.
32. 4 ס״מ — (4/3)·π·r³ = (256/3)π ⟸ r³ = 64 ⟸ r = 4 ס״מ.
33. 10 ס״מ — (4/3)·π·r³ = (500/3)π ⟸ r³ = 125 ⟸ r = 5 ס״מ. הקוטר הוא 2·5 = 10 ס״מ.
34. 4.5π סמ״ק — V = (4/3)·π·(1.5)³ = (4/3)·π·3.375 = 4.5π סמ״ק. ניתן לכתוב גם 9π/2.
35. (32/3)π סמ״ק — הרדיוס הוא 2 ס״מ. V = (4/3)·π·2³ = (4/3)·π·8 = (32/3)π סמ״ק.
36. ≈ 904.32 סמ״ק — V = 288π ≈ 288·3.14 = 904.32 סמ״ק.
37. (128/3)π סמ״ק — נפח כדור שלם: (4/3)·π·64 = (256/3)π. חצי ממנו: (128/3)π סמ״ק.
38. 1 : 125 — יחס הרדיוסים הוא 1:5, ולכן יחס הנפחים הוא 1³:5³ = 1:125.
39. ≈ 904.32 גרם — נפח הכדור: V = 36π ≈ 113.04 סמ״ק. מסה = נפח · צפיפות ≈ 113.04 · 8 ≈ 904.32 גרם.
40. 2304π סמ״ק — V = (4/3)·π·12³ = (4/3)·π·1728 = 2304π סמ״ק.