מבחנים מיוחדים — כיתה ח׳ (קשה)

פתרונות

1. 12 — חברו את שתי המשוואות: 3x = 12 → x = 4. ממשוואה 1: y = 7 − 4 = 3. בדיקה: 2·4 − 3 = 5 ✓. לכן x × y = 4 × 3 = 12.
2. 2 — פתרונות x: x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) = 0 → x ∈ {2, 3}. פתרונות y: y² − 7y + 10 = (y − 2)(y − 5) = 0 → y ∈ {2, 5}. כל הצירופים (x, y): (2,2), (2,5), (3,2), (3,5). מהם עם x < y: (2,5) ✓ ו-(3,5) ✓. סה״כ 2 זוגות.
3. 5 — נפתור n² − 14n + 40 = 0: (n − 4)(n − 10) = 0 → n = 4 או n = 10. הפרבולה פתוחה כלפי מעלה, לכן הביטוי שלילי בין השורשים: 4 < n < 10. המספרים השלמים בתחום זה הם: 5, 6, 7, 8, 9 — בסך הכל 5 ערכים.
4. 27 ס״מ² — יהי רוחב = w, אורך = 3w. שטח מקורי = 3w². שטח חדש = (3w + 2)(w + 2) = 3w² + 6w + 2w + 4 = 3w² + 8w + 4. הפרש: 8w + 4 = 28 → 8w = 24 → w = 3. שטח מקורי = 3 × 3² = 27 ס״מ². בדיקה: שטח חדש = (11)(5) = 55. הפרש = 55 − 27 = 28 ✓.
5. 85° — זווית C = 180° − 50° − 70° = 60°. AD חוצה את זווית A, לכן זווית BAD = 25°. במשולש ABD: זווית ADB = 180° − 70° − 25° = 85°.
6. MB ∥ ND ו-MB = ND — ב-ABCD מקבילית: AB ∥ CD ו-AB = CD. M אמצע AB לכן MB = AB/2; N אמצע CD לכן ND = CD/2. לכן MB = ND. כמו כן MB ∥ ND (כי AB ∥ CD). זוג צלעות שוות ומקבילות → MBND מקבילית.
7. 25:9 — משולשי ABE ו-DCE דומים (זוויות מתחלפות בין קווים מקבילים). יחס הדמיון = AB/DC = 10/6 = 5/3. יחס השטחים = (5/3)² = 25/9.
8. ז.ז.ז — שלוש זוויות שוות — △ABC שווה-שוקיים (AB = AC), לכן זווית ABC = זווית ACB = β. BD = AB לכן △ABD שווה-שוקיים, וזווית BAD = זווית BDA = (180° − β)/2. זווית ABD = β (משותפת לשני המשולשים בצורה מסוימת). ניתן להראות ששתי זוויות ב-△ABD שוות לשתי זוויות ב-△CAB, לכן שלוש זוויות שוות — משולשים דומים לפי ז.ז.ז.
9. 40 ס״מ — אלכסוני מעוין חוצים זה את זה בניצב. חצי אלכסונים: AC/2 = 6, BD/2 = 8. כל צלע = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10 ס״מ. היקף = 4 × 10 = 40 ס״מ.
10. 10 — מספרים בצורה ab0 עם ספרת האחדות 0: a+b+0 = a+b מתחלק ב-9 → a+b = 9 או a+b = 18. כאשר a+b = 9: (a,b) = (1,8),(2,7),(3,6),(4,5),(5,4),(6,3),(7,2),(8,1),(9,0) → 9 מספרים. כאשר a+b = 18: a=9, b=9 → 990 → 1 מספר. סה״כ 10 מספרים.