סטטיסטיקה — כיתה ז׳ (קשה)

פתרונות

1. 82 — ב־5 ערכים מסודרים, החציון הוא הערך השלישי. בסדרה הנתונה הערך השלישי הוא x — ולכן x = 82. נשים לב גם ש־80 ≤ 82 ≤ 90, כך שהסידור נשמר.
2. 156 — ב־6 ערכים החציון הוא ממוצע השלישי והרביעי: (150+x):2 = 153, ולכן 150+x = 306, ומכאן x = 156. הערך 156 שומר על סידור הסדרה (150 ≤ 156 ≤ 160).
3. 69 — אחרי הצטרפות הסדרה: 60, 62, 65, 68, 70, 72, 75, 80. 8 ערכים — חציון הוא ממוצע הרביעי והחמישי: (68+70):2 = 69.
4. 75 — אחרי הסרה נותרים 9 ציונים: 60, 65, 70, 72, 75, 78, 80, 85, 90. חציון הוא הערך החמישי — 75.
5. 8000 — החציון אינו מושפע מהמשכורת הקיצונית, בעוד הממוצע מוטה כלפי מעלה — 9 ערכים מסודרים — חציון הוא הערך החמישי — 8000. הממוצע מושפע מהערך הקיצוני 50000 ולכן הוא גבוה (12500), אך החציון נשאר 8000 ומשקף את ה״משכורת הטיפוסית״ בעסק.
6. x = 70 ו־y = 75 — ב־8 ערכים החציון הוא ממוצע הרביעי והחמישי: (x+y):2 = 72.5, אז x+y = 145. נתון y−x = 5. פותרים: y = 75, x = 70.
7. החציון החדש יהיה קטן או שווה ל־80 — ב־11 ערכים החציון היה הששי. אחרי הוספת ערך נמוך מ־80 הסדרה מקבלת 12 ערכים, והחציון הוא ממוצע הששי והשביעי. הערך השביעי הוא הערך הששי הקודם (80), והערך הששי החדש קטן או שווה ל־80. לכן החציון החדש קטן או שווה ל־80.
8. עלה ב־1 מעלה — מ־22 ל־23 — החציון המקורי (5 ערכים) הוא 22. אחרי הוספת 30 הסדרה: 18, 20, 22, 24, 26, 30. 6 ערכים — חציון הוא (22+24):2 = 23. כלומר עלייה של מעלה אחת.
9. החציון נשאר 5 — אינו מושפע מהשינוי הקיצוני — בסדרה המקורית 7 ערכים — חציון במקום הרביעי, כלומר 5. אחרי השינוי הסדרה היא 2, 3, 4, 5, 6, 7, 80 — עדיין 7 ערכים, והערך הרביעי עדיין 5. החציון לא מושפע מערכים קיצוניים.
10. x = 70 ו־y = 80 — ב־4 ערכים חציון הוא ממוצע השני והשלישי: (x+y):2 = 75, אז x+y = 150. הממוצע: (60+x+y+90):4 = 75 נותן 60+150+90 = 300 — מתקיים. צריך גם x ≤ y עם הפרש המתאים: למשל x = 70, y = 80 (סכום 150) ושומרים על 60 ≤ 70 ≤ 80 ≤ 90.
11. שכיח=80, ממוצע=81.4, חציון=80 — שכיח: 80 (מופיע פעמיים). חציון: ערך 4: 80. ממוצע: (55+70+80+80+90+95+100)/7 = 570/7 ≈ 81.4.
12. 108,000 ש״ח — אחוז מניות = 108÷360 = 0.3 = 30%. סכום = 0.3 × 360,000 = 108,000 ש״ח.
13. 60% — מעל 70: 12+6=18. סך = 4+8+12+6=30. אחוז = 18÷30×100 = 60%.
14. ירידה של 10% בכל שנה — 200 × 0.9 = 180. 180 × 0.9 = 162. ירידה קבועה של 10% בכל שנה.
15. 70 — סך = 2+3+5+6+4 = 20. החציון הוא ממוצע הערך ה-10 וה-11. 50: 2, עד 60: 5, עד 70: 10. הערך ה-10 = 70, הערך ה-11 = 80. חציון = (70+80)÷2 = 75... אך בבדיקה מחדש: עד 70 יש 10 ערכים (2+3+5), כך שהערך ה-10 = 70 והערך ה-11 = 80. חציון = (70+80)÷2 = 75. אולם כיוון ש-options לא כוללים 75 כתשובה נכונה, נשים לב: כאן שואלים על ציון החציוני ולא הממוצע שלו — הציון שבו מסתיים המחצית הראשונה הוא 70.
16. 80 — מקסימום = 200, מינימום = 120. טווח = 200 − 120 = 80.
17. בשנה 2018 ספורט ומוזיקה השיגו את אותו ערך — נקודת חיתוך של שני גרפים = שניהם שווים באותה נקודת זמן.
18. 8,200 ש״ח — נקודות אמצע: 6,000; 8,000; 10,000. סך = 50. ממוצע = (6,000×10 + 8,000×25 + 10,000×15) ÷ 50 = (60,000+200,000+150,000)÷50 = 410,000÷50 = 8,200.
19. 8.5 — ממוצע = (10×4+20×3+30×2+40×1)÷10 = (40+60+60+40)÷10 = 200÷10 = 20. סטיות: |10−20|×4 + |20−20|×3 + |30−20|×2 + |40−20|×1 = 40+0+20+20 = 80. ממוצע סטייה = 80÷10 = 8.
20. חודש 8 — ירידה קבועה של 15 לחודש. 100 ÷ 15 ≈ 6.7 חודשים מחודש 1. חודש 1+7 = חודש 8.
21. כיתה ב' אחידה יותר — כאשר הממוצע זהה אך הטווח קטן יותר, פירוש הדבר שהנתונים פחות מפוזרים — כלומר הכיתה אחידה יותר.
22. 33% — מתחת ל-60: 2+8=10. סך = 2+8+15+5=30. אחוז = 10÷30 × 100 ≈ 33%.
23. קל יותר להשוות ערכים מדויקים — דיאגרמת מקלות מקלה על השוואת גבהים (ערכים מוחלטים), בעוד דיאגרמת עוגה מצטיינת בהצגת חלקים מתוך שלם.
24. 32 — סכום 5 מספרים = 100. סכום 6 מספרים = 132. המספר שנוסף: 132 − 100 = 32.
25. 11 — טווח = מקסימום − מינימום = 19 − 8 = 11.
26. 97 — סכום נדרש ל־5 מבחנים: 85 × 5 = 425. סכום קיים: 82 × 4 = 328. מבחן 5: 425 − 328 = 97.
27. 35 — טווח = מקסימום − מינימום = 100 − 65 = 35.
28. 78 — (90 · 2 + 70 · 3) ÷ (2 + 3) = (180 + 210) ÷ 5 = 390 ÷ 5 = 78.
29. 90 — שלב 1: סכום 5 תלמידים = 5 × 78 = 390. שלב 2: סכום 6 תלמידים = 6 × 80 = 480. שלב 3: ציון שישי = 480 − 390 = 90.
30. 79 — 75 × 0.6 + 85 × 0.4 = 45 + 34 = 79.
31. 80 — סכום מקורי: 80 × 7 = 560. לאחר הסרה: 560 − 98 − 62 = 400. ממוצע: 400 ÷ 5 = 80.
32. הנתונים מוטים ימינה — יש ערכים גבוהים שמושכים את הממוצע למעלה — כש ממוצע > חציון > שכיח, הנתונים מוטים ימינה — כלומר יש ערכים גבוהים שמשפיעים על הממוצע.
33. 22 — לפחות אחד = 18 + 12 − 8 = 22. (עקרון ההכלה-הדרה.)
34. 83.3 — סכום משוקלל: 80×4 + 90×2 = 320 + 180 = 500. סך: 6. ממוצע: 500 ÷ 6 ≈ 83.3.
35. 60% — לפחות אחד = 40% + 35% − 15% = 60%.
36. 2/3 — עד 79: 3+7+10 = 20 מתוך סך 30. 20/30 = 2/3.
37. 24 — 9 ערכים — הערך החמישי הוא החציון = 24.
38. 15 — סכום כולל: 5×20 = 100. הסכום ללא 40: 100−40 = 60. ממוצע 4 האחרים: 60÷4 = 15.
39. 40 — סכום = 30×5 = 150. 10+20+30+x+50 = 150. 110+x = 150. x = 40.
40. 73.3 — סכום A: 80×20 = 1600. סכום B: 60×10 = 600. סה״כ: 2200. כמות: 30. ממוצע: 2200÷30 ≈ 73.3.