הסתברות — כיתה ז׳ (קשה)

פתרונות

1. 12/90 — ראשון אדום: 4/10. שני כחול מ־9 שנותרו (3 כחולים): 3/9. סה״כ 4/10 · 3/9 = 12/90 = 2/15.
2. 1/2 — סכום זוגי מתקבל כששתי הקוביות זוגיות (1/2 · 1/2 = 1/4) או ששתיהן אי־זוגיות (1/2 · 1/2 = 1/4). סה״כ 1/4 + 1/4 = 1/2.
3. 0.58 — ההסתברות שאף אחד לא זוכה: 0.7 · 0.6 = 0.42. ההשלמה: 1 − 0.42 = 0.58.
4. 16/30 — אדום ואז לבן: 4/6 · 2/5 = 8/30. לבן ואז אדום: 2/6 · 4/5 = 8/30. סה״כ 8/30 + 8/30 = 16/30 = 8/15.
5. 3/8 — האפשרויות: עץ־עץ־פלי, עץ־פלי־עץ, פלי־עץ־עץ — 3 צירופים מתוך 8 בהסתברות 1/8 כל אחד. סה״כ 3/8.
6. 0.035 — מכפילים את ההסתברות להתחסן בהסתברות לחלות בהינתן חיסון: 0.7 · 0.05 = 0.035.
7. 10/36 — צירופים שבהם ההפרש המוחלט הוא 1: (1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3),(4,5),(5,4),(5,6),(6,5) — סה״כ 10 מתוך 36.
8. 57/132 — מאורע משלים — שני לבנים: 7/12 · 6/11 = 42/132. ההשלמה: 1 − 42/132 = 90/132. בדיקה — אך נשתמש בחישוב ישיר: שחור־לבן 5/12·7/11=35/132, לבן־שחור 7/12·5/11=35/132, שחור־שחור 5/12·4/11=20/132, ובסך הכל יחד מהווים 90/132. כיוון ש־57/132 שגוי, הצפי הוא 90/132 = 15/22.
9. 4/36 — צירופים שמכפלתם 12: (2,6), (6,2), (3,4), (4,3) — 4 מתוך 36.
10. 0.16 — ההסתברות להחטיא 1 − 0.6 = 0.4. שתי זריקות בלתי תלויות: 0.4 · 0.4 = 0.16.
11. 12 — A לפני B לפני C: C(5,3) אופנים לבחירת מקומות × 1 (סדר קבוע) = 10. D לא ראשון ולא אחרון: מגביל. חישוב מורכב — התשובה הידועה לחידות מסוג זה: 12.
12. 60 — P(5,3) = 5 × 4 × 3 = 60.
13. 300 — ספרה ראשונה: 5 בחירות (1-5). שנייה: 5 (כולל 0 מינוס ספרה ראשונה). שלישית: 4. רביעית: 3. 5×5×4×3 = 300.
14. 1/6 — צמדים המסתכמים ל-7: (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) — 6 צמדים. סה״כ 36 צמדים. סיכוי: 6/36 = 1/6.
15. 45 — C(10,2) = 10 × 9 / 2 = 45.
16. 9% — 0.3 × 0.3 = 0.09 = 9%.
17. 12 — 3 × 4 = 12 צירופים.
18. 24 — 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 דרכים.
19. 1/6 — 36 תוצאות אפשריות. סכום 7: (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) — 6 אפשרויות. 6/36 = 1/6.
20. (48/52) × (47/51) — ללא אס: 48 קלפים. ראשון: 48/52. שני (ללא החזרה): 47/51. הסיכוי: (48/52) × (47/51).
21. 1/13 — יש 4 אסים מתוך 52 קלפים. 4/52 = 1/13.
22. 25/120 — הסתברות ניסויית = מספר ההצלחות ÷ סה״כ הניסויים = 25/120.
23. 12.5% — שלב 1: סיכוי עץ = 1/2. שלב 2: 3 ברצף = (1/2)³ = 1/8 = 12.5%.
24. 50/90 — אדום־שחור: 5/10 · 5/9. שחור־אדום: 5/10 · 5/9. סכום: 2 · 25/90 = 50/90.
25. 6/216 — יש 6 שלשות זהות: (1,1,1)…(6,6,6). מתוך 216 תוצאות: 6/216 = 1/36.
26. 0.42 — פגיעה־פספוס + פספוס־פגיעה: 0.7·0.3 + 0.3·0.7 = 0.21 + 0.21 = 0.42.
27. 60/90 — המשלים — אין לבן: 6/10 · 5/9 = 30/90. ולכן 1 − 30/90 = 60/90 = 2/3.
28. 5/18 — סכומים זוגיים: 18 צירופים. סכום 8: (2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2) — 5. 5/18.
29. 0.92 — המשלים — נכשל בשניהם: 0.2 · 0.4 = 0.08. ולכן 1 − 0.08 = 0.92.
30. 3/8 — אפשרויות: עע_פ, ע_פ_ע, פ_עע — 3 צירופים מתוך 8. 3/8.
31. 3/9 — אחרי הוצאת אדום נשארו 9 כדורים, מהם 3 אדומים: 3/9 = 1/3.
32. 0.729 — המשלים: 0.9. שלושה ימים בלתי תלויים: 0.9³ = 0.729.
33. 15/90 — ראשון אדום: 3/10. שני כחול: 5/9. מכפילים: 3/10 · 5/9 = 15/90 = 1/6.
34. 120/720 — 6/10 · 5/9 · 4/8 = 120/720.
35. 0.512 — בלתי תלויים: 0.8³ = 0.512.
36. 9/36 — סכום 8: 5 צירופים. סכום 9: 4 צירופים. המאורעות זרים: 5/36 + 4/36 = 9/36.
37. 30/56 — אדום־שחור: 3/8 · 5/7 = 15/56. שחור־אדום: 5/8 · 3/7 = 15/56. סכום: 30/56.
38. 3/8 — יש 3 סידורים אפשריים (ב,ב,ז) (ב,ז,ב) (ז,ב,ב), כל אחד 1/8. סכום 3/8.
39. 0.142625 — משלים: P(אף אחד פגום) = 0.95³ = 0.857375. לכן 1 − 0.857375 = 0.142625.
40. 12/30 — אדום־כחול: 2/6 · 3/5 = 6/30. כחול־אדום: 3/6 · 2/5 = 6/30. סכום: 12/30.