מבחנים מיוחדים — כיתה ז׳ (קשה)

פתרונות

1. 3 — עוברים בפעם ראשונה: ⅝ × 32 = 20. נכשלים: 32 − 20 = 12. עוברים בפעם שנייה: ¾ × 12 = 9. לא עוברים גם בשנייה: 12 − 9 = 3.
2. 10 — מיץ מקורי: 0.25 × 40 = 10 ליטר. נסמן כמות מוספת x. (10 + x) ÷ (40 + x) = 0.4 → 10 + x = 16 + 0.4x → 0.6x = 6 → x = 10.
3. 102 — סדרה חשבונית עם a₁ = 7 ו-d = 5. הנוסחה: aₙ = 7 + (n−1) × 5 = 5n + 2. a₂₀ = 5 × 20 + 2 = 102.
4. 486 — a₆ = 2 × 3^(6−1) = 2 × 3⁵ = 2 × 243 = 486.
5. 18 — הרצף מורכב משתי תת-סדרות לפי מיקומים אי-זוגיים וזוגיים. מיקומים אי-זוגיים (מקום 1,3,5,7,9): 3, 4, 6, 10, ? — ההפרשים הם 1, 2, 4 (כפול 2 בכל פעם), לכן ההפרש הבא הוא 8: 10 + 8 = 18. מיקומים זוגיים (2,4,6,8): 2, 3, 5, 9 — כל אחד הוא המיקום האי-זוגי שלפניו פחות 1. האיבר ה-9 (מיקום אי-זוגי) = 18.
6. 24 — a₁ = 1 − 1 + 1 = 1. a₂ = 4 − 2 + 1 = 3. a₃ = 9 − 3 + 1 = 7. a₄ = 16 − 4 + 1 = 13. סכום: 1 + 3 + 7 + 13 = 24.
7. 126 — מ.מ.כ. × מ.מ.ג. = מכפלת שני המספרים. 252 × 42 = 84 × b → 10584 = 84b → b = 126. בדיקה: 84 = 2² × 3 × 7, 126 = 2 × 3² × 7. מ.מ.ג. = 2 × 3 × 7 = 42. מ.מ.כ. = 2² × 3² × 7 = 252. נכון.
8. 24 — 360 = 2³ × 3² × 5¹. מספר המחלקים = (3+1)(2+1)(1+1) = 4 × 3 × 2 = 24.
9. 60 — מ.מ.כ. × מ.מ.ג. = מכפלת שני המספרים. 180 × 12 = 36 × b → 2160 = 36b → b = 60.
10. 22 — מתחלקים ב-6: ⌊200÷6⌋ = 33. מתחלקים גם ב-18 (= מ.מ.כ.(6,9)): ⌊200÷18⌋ = 11. מתחלקים ב-6 אך לא ב-9: 33 − 11 = 22.
11. 2 — a★b = (a − b)². לכן 5★x = (5 − x)² = 9 → 5 − x = ±3. אם 5 − x = 3 אז x = 2; אם 5 − x = −3 אז x = 8. הערך הקטן יותר הוא x = 2.
12. 3 — 6◆2 = (6+2)÷(6−2) = 8÷4 = 2. לאחר מכן: 2◆1 = (2+1)÷(2−1) = 3÷1 = 3.
13. 4 — AB + BA = (10a+b) + (10b+a) = 11(a+b) = 99 → a + b = 9. זוגות עם a > b ו-a+b=9 ו-a,b ספרות 1-9: (5,4), (6,3), (7,2), (8,1). סה״כ 4 זוגות.
14. 1 — SEND ו-MORE הם מספרים בני 4 ספרות. סכום שני מספרים כאלה יכול להגיע לכל היותר ל-19998. לכן MONEY (5 ספרות) מתחיל ב-1, כלומר M = 1. הפתרון הקלאסי: S=9, E=5, N=6, D=7, M=1, O=0, R=8, Y=2: 9567 + 1085 = 10652.
15. 20 — זוויות מתחלפות פנימיות בין ישרות מקבילות שוות זו לזו: 3x + 15 = 5x − 25 → 40 = 2x → x = 20.
16. 95° — בטרפז, זוויות חד-צדדיות (co-interior angles) סוכמות 180°. B + C = 180° → 85° + C = 180° → C = 95°.
17. ערן — נבדוק: אם ערן קיבל הכי גבוה — דנה אמרה אמת, ערן שקר (יעל<ערן), יעל שקר (דנה<ערן). רק דנה — אמת אחת. תואם! אם יעל הכי גבוהה — דנה שקר, ערן אמת, יעל שקר — רק ערן. תואם גם כן. אם דנה הכי גבוהה — דנה שקר, ערן שקר (אם יעל<דנה<ערן לא ייתכן כי ערן נמוך), יעל אמת — רק יעל. תואם. שלוש אפשרויות. אך אם ערן הכי גבוה: דנה אמת, ערן שקר (כי יעל<ערן), יעל שקר (כי דנה<ערן). בדיוק אחד. אם יעל הכי גבוהה: ערן אמת (יעל>ערן), דנה שקר, יעל שקר (דנה<יעל<...?) — צריך לבדוק יעל: 'דנה>ערן'. אם סדר: יעל>דנה>ערן: דנה שקר (ערן לא הכי), ערן אמת (יעל>ערן), יעל אמת (דנה>ערן). שניים! לא תואם. אם יעל>ערן>דנה: דנה שקר, ערן אמת, יעל שקר (דנה<ערן). אחד! תואם. אז גם ערן הכי גבוה וגם יעל הכי גבוהה אפשריות. אך הנחנו ערן כתשובה. בדיקה נוספת: אם ערן הכי גבוה (סדר ערן>דנה>יעל או ערן>יעל>דנה): דנה אמת תמיד, ערן שקר תמיד, יעל: 'דנה>ערן' — שקר תמיד. אחד בלבד. תקין. ערן הוא הכי גבוה.
18. 7 — נסמן נכונות = x, שגויות = 10 − x. 4x − 2(10 − x) = 22 → 4x − 20 + 2x = 22 → 6x = 42 → x = 7.
19. ברי — דן בעמדה 2 → גל בעמדה 3. אך גל אינו יכול להיות בעמדה 3 — סתירה! לכן דן אינו בעמדה 2. אבל השאלה אומרת 'אם דן בעמדה 2'. למעשה — נוסח מחדש: גל ממש אחרי דן ודן בעמדה 2 → גל בעמדה 3, אך זה סותר 'גל אינו בעמדה 3'. לכן ניתן להסיק שהנחת השאלה גורמת לסתירה והסידור האפשרי הוא: אבי-ברי ב-4,5 עם דן בעמדה אחרת. נשנה: דן בעמדה 1 → גל בעמדה 2. אבי-ברי: שני מיקומים עוקבים מתוך 3,4,5. הלל בנותר. אם אבי-ברי ב-4,5: הלל ב-3. עמדה 5 = ברי.
20. 79 — סכום: 5×60 + 8×75 + 7×85 + 5×95 = 300 + 600 + 595 + 475 = 1970. ממוצע = 1970 ÷ 25 = 78.8 ≈ 79.
21. 85 — סה״כ 20 תלמידים. החציון הוא ממוצע האיברים ה-10 וה-11. תלמידים 1-4: ציון 70. תלמידים 5-10: ציון 80. תלמידים 11-15: ציון 90. האיבר ה-10 = 80, האיבר ה-11 = 90. חציון = (80+90)÷2 = 85.
22. 28 — סכום 6 המספרים = 6 × 14 = 84. סכום 7 המספרים = 7 × 16 = 112. המספר השביעי = 112 − 84 = 28.
23. 4/5 — סה״כ = 5 + 3 + 2 = 10. לא ירוקים = 5 + 3 = 8. הסתברות = 8/10 = 4/5.
24. 120 — בוחרים בן אחד מ-12: 12 דרכים. בוחרים בת אחת מ-10: 10 דרכים. לפי כלל המכפלה: 12 × 10 = 120 ועדות.
25. 1/6 — סה״כ תוצאות = 36. סכום 10: (4,6),(5,5),(6,4) = 3 זוגות. סכום 11: (5,6),(6,5) = 2 זוגות. סכום 12: (6,6) = 1 זוג. סה״כ = 6. הסתברות = 6/36 = 1/6.
26. 4 — |3-10|=7, |2-5|=3, ולכן 7-3=4.
27. 8 — (-2)^4=16, (-2)^3=-8, ולכן 16-8=8.
28. 2^2 — במונה: 2^(5+3)=2^8. בחילוק: 2^(8-6)=2^2.
29. a^6 — בסוגריים a^(4-1)=a^3, ובחזקת 2: a^(3·2)=a^6.
30. x=±7 — גם 7 וגם -7 בריבוע נותנים 49.
31. 6x+2 — 2x+6+4x-4 = 6x+2.
32. 2x+6 — 5x-3x+6 = 2x+6.
33. 6x-10 — 8x-4-2x-6 = 6x-10.
34. x=5 — 3x+3=2x+8, x=5.
35. x=3 — 15=5x, ולכן x=3.
36. x=7 — 6x-2=4x+12, 2x=14, x=7.
37. x>-4 — כשמחלקים בשלילי - הופכים סימן: x>-4.
38. x≥-2 — -2x≤4, חלק ב--2 והפוך: x≥-2.
39. 3 — (11-2)/(4-1) = 9/3 = 3.
40. -1 — (1-5)/(6-2) = -4/4 = -1.