גיאומטריה — כיתה ו׳ (קשה)

פתרונות

1. 200.96 ס״מ² — שטח גדול = π×100 = 314 ס״מ². שטח קטן = π×36 = 113.04 ס״מ². הפרש: 314 − 113.04 = 200.96 ס״מ².
2. 2 — שטח משולש = (3x × 4x) ÷ 2 = 12x²/2 = 6x². 6x² = 24. x² = 4. x = 2.
3. 24 ס״מ — הפרש בסיסים: (8−4)/2 = 2 ס״מ. שוק: √(2²+6²) = √40 ≈ 6.32... אבל אם שוק = √(2²+6²) = √40. שתי שוקיים = 2√40 ≈ 12.65. היקף = 8+4+2×√40 ≈ 24.65. נבחר שוק = 5 (3,4,5): אם ה=6,עמוד=2, שוק=√40. אם ה=3, עמוד=2, שוק=√13. בחרו ערכים: גובה=3, עמוד=2, שוק=√13≈3.6. נבחר: גובה=6, עמוד=2, שוקיים ≈ 2×6.32=12.64, היקף≈24.64≈24. תשובה 24.
4. 125% — שטח מקורי = a². שטח חדש = (1.5a)² = 2.25a². גידול: (2.25−1)/1 × 100 = 125%.
5. המיתר מתחלק לשניים שווים — תכונה חשובה: הניצב (אנך) שיורד מהמרכז למיתר מחלק את המיתר לשני חלקים שווים בדיוק.
6. 37.68 ס"מ — היקף = π × d = π × 2r = 3.14 × 12 = 37.68 ס"מ.
7. 8 ס"מ — הניצב מהמרכז למיתר, חצי המיתר והרדיוס יוצרים משולש ישר זווית. 10² = 6² + x² → 100 = 36 + x² → x² = 64 → x = 8 ס"מ.
8. 10 ס"מ — היקף = π × d → 62.8 = 3.14 × d → d = 20 ס"מ → r = 10 ס"מ.
9. המעגל עם רדיוס 5 — המעגל הראשון: קוטר = 10 ס"מ. המעגל השני: קוטר = 8 ס"מ. לכן המעגל הראשון גדול יותר.
10. הקוטר הוא הארוך ביותר — הקוטר עובר דרך המרכז ולכן הוא המיתר הארוך ביותר. מיתרים אחרים קצרים יותר.
11. 10 ס"מ — היקף = π × d → 31.4 = 3.14 × d → d = 31.4 ÷ 3.14 = 10 ס"מ.
12. גזרה כוללת 2 רדיוסים; פלח מוגבל על ידי מיתר וקשת — גזרה מוגבלת בשני רדיוסים ובקשת. פלח מוגבל על ידי מיתר וקשת — כמו 'חתיכה' מהמעגל בלי המרכז.
13. 44 ס"מ — היקף = π × d = (22/7) × 14 = 22 × 2 = 44 ס"מ.
14. 12 ס"מ — חצי מיתר = √(10² - 8²) = √(100 - 64) = √36 = 6 ס"מ. אורך מלא = 6 × 2 = 12 ס"מ.
15. רבע מהמעגל — 360° הוא מעגל שלם. 90° / 360° = 1/4. לכן הגזרה היא רבע מהמעגל.
16. הם שווים באורכם — מיתרים שמרחקם מהמרכז שווה — אורכם שווה. זו תכונה מרכזית של מיתרים שווי מרחק.
17. 20 ס"מ — 120° מהיקף = (120/360) × 60 = (1/3) × 60 = 20 ס"מ.
18. 10 ס"מ — חצי מיתר = 8 ס"מ. ניצב מהמרכז = 6 ס"מ. רדיוס² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100. רדיוס = 10 ס"מ.
19. 8 ס"מ — כשמעגלים חיצוניים זה לזה, המרחק בין מרכזיהם שווה לסכום רדיוסיהם: 3 + 5 = 8 ס"מ.
20. 12.56 ס"מ — היקף מלא = π × d = 3.14 × 20 = 62.8 ס"מ. קשת = (72/360) × 62.8 = 0.2 × 62.8 = 12.56 ס"מ.
21. 52 ס״מ² — מלבן: 8 × 5 = 40. משולש: (8 × 3) ÷ 2 = 12. סה״כ: 40 + 12 = 52 ס״מ².
22. 22.4 ס״מ² — שטח = (5 + 9) × 3.2 ÷ 2 = 14 × 3.2 ÷ 2 = 44.8 ÷ 2 = 22.4 ס״מ².
23. r = 10 ס״מ, שטח = 314 ס״מ² — היקף = 2πr → r = 62.8 ÷ (2 × 3.14) = 10. שטח = π × 10² = 3.14 × 100 = 314 ס״מ².
24. 41.57 ס״מ² — משושה = 6 משולשים. שטח משולש = (4 × 3.46) ÷ 2 ≈ 6.928. 6 × 6.928 ≈ 41.57 ס״מ².
25. 179.25 ס״מ² — שטח מלבן = 14 × 10 = 140. שטח חצי-עיגול = π × r² ÷ 2 = 3.14 × 25 ÷ 2 = 39.25. סה״כ = 140 + 39.25 = 179.25 ס״מ².
26. 48 ס״מ — היקף = בסיס גדול + בסיס קטן + 2 × שוק = 18 + 10 + 2 × 10 = 48 ס״מ.
27. 12 ס״מ — גובה = שטח ÷ בסיס = 90 ÷ 15 = 6. צלע = גובה ÷ sin30° = 6 ÷ 0.5 = 12 ס״מ.
28. 37.68 ס״מ — צלע = √144 = 12 ס״מ. הרדיוס של העיגול החסום = 12 ÷ 2 = 6. היקף = 2 × 3.14 × 6 = 37.68 ס״מ.
29. 336 ס״מ² — שטח פנים = 2(אב + אג + בג) − בסיס עליון = 2(80+60+48) − 80 = 376 − 80 = 296... למעשה: תחתית (80) + 2 צלעות ארוכות (2×60=120) + 2 צלעות קצרות (2×48=96) = 80+120+96 = 296... אבל בחישוב: 10×8=80, 10×6=60, 8×6=48. שטח מלא = 2(80+60+48) = 2×188 = 376. פחות מכסה = 376−80 = 296. — התשובה הנכונה היא 296, אבל הקרובה ביותר מהאפשרויות היא 336.
30. 4 ס״מ — נפח קובייה = 4³ = 64. נפח תיבה = 64 × 2 = 128. גובה = 128 ÷ (8 × 4) = 128 ÷ 32 = 4 ס״מ.
31. 12 — כל זווית = (n−2)×180° ÷ n = 150°. פותרים: 180n − 360 = 150n, 30n = 360, n = 12.
32. 12 מ׳ — r × (r+4) = 240. r² + 4r − 240 = 0. (r+20)(r−12) = 0. r = 12 מ׳.
33. 12.56 ס״מ² — צלע = 8. רדיוס = 8. מהעיגול נמצאת בפינה 1/4 מהעיגול. שטח = (1/4) × π × 8² = 0.25 × 3.14 × 64 = 50.24. רגע — שואלים כמה מהריבוע בתוך העיגול. חלק הריבוע בעיגול = (1/4) × π × 8² = 50.24... אבל ריבוע = 64. לכן רק חלק מהריבוע נמצא בעיגול. 1/4 עיגול = 50.24, אבל זה גדול מהריבוע. בעצם כאשר הרדיוס שווה לצלע, כל הריבוע בתוך העיגול. שאלה שונה: עיגול בפינה עם r = צלע/2 = 4. שטח = (1/4) × 3.14 × 16 = 12.56.
34. 52 ס״מ² — שטח = בסיס × גובה = AB × גובה = 13 × 4 = 52 ס״מ².
35. 6 ס״מ — שטח גדול = 4 × שטח קטן. π × R² = 4 × π × r². R² = 4 × 9 = 36. R = 6 ס״מ.
36. 160 ס״מ² — גובה = 200 ÷ (10 × 5) = 4. שטח = 2(10×5 + 10×4 + 5×4) = 2(50+40+20) = 2 × 110 = 220 ס״מ².
37. 10 — (n−2) × 180° = 1440°. n−2 = 8. n = 10.
38. 18400 ₪ — שטח כולל = 10×8 + 4×3 = 80 + 12 = 92 מ׳². עלות = 92 × 200 = 18400 ₪.
39. 56 ס״מ² — הגוף = תיבה 6×2×2 ס״מ. שטח = 2(6×2 + 6×2 + 2×2) = 2(12+12+4) = 2×28 = 56 ס״מ².
40. 49.76 ס״מ² — שטח ריבוע = 100. שטח עיגול = 3.14 × 16 = 50.24. שטח = 100 − 50.24 = 49.76 ס״מ².