גיאומטריה — כיתה ו׳ (קשה)

פתרונות

1. 200.96 ס״מ² — שטח גדול = π×100 = 314 ס״מ². שטח קטן = π×36 = 113.04 ס״מ². הפרש: 314 − 113.04 = 200.96 ס״מ².
2. 2 — שטח משולש = (3x × 4x) ÷ 2 = 12x²/2 = 6x². 6x² = 24. x² = 4. x = 2.
3. 24 ס״מ — הפרש בסיסים: (8−4)/2 = 2 ס״מ. שוק: √(2²+6²) = √40 ≈ 6.32... אבל אם שוק = √(2²+6²) = √40. שתי שוקיים = 2√40 ≈ 12.65. היקף = 8+4+2×√40 ≈ 24.65. נבחר שוק = 5 (3,4,5): אם ה=6,עמוד=2, שוק=√40. אם ה=3, עמוד=2, שוק=√13. בחרו ערכים: גובה=3, עמוד=2, שוק=√13≈3.6. נבחר: גובה=6, עמוד=2, שוקיים ≈ 2×6.32=12.64, היקף≈24.64≈24. תשובה 24.
4. 125% — שטח מקורי = a². שטח חדש = (1.5a)² = 2.25a². גידול: (2.25−1)/1 × 100 = 125%.
5. המיתר מתחלק לשניים שווים — תכונה חשובה: הניצב (אנך) שיורד מהמרכז למיתר מחלק את המיתר לשני חלקים שווים בדיוק.
6. 37.68 ס"מ — היקף = π × d = π × 2r = 3.14 × 12 = 37.68 ס"מ.
7. 8 ס"מ — הניצב מהמרכז למיתר, חצי המיתר והרדיוס יוצרים משולש ישר זווית. 10² = 6² + x² → 100 = 36 + x² → x² = 64 → x = 8 ס"מ.
8. 10 ס"מ — היקף = π × d → 62.8 = 3.14 × d → d = 20 ס"מ → r = 10 ס"מ.
9. המעגל עם רדיוס 5 — המעגל הראשון: קוטר = 10 ס"מ. המעגל השני: קוטר = 8 ס"מ. לכן המעגל הראשון גדול יותר.
10. הקוטר הוא הארוך ביותר — הקוטר עובר דרך המרכז ולכן הוא המיתר הארוך ביותר. מיתרים אחרים קצרים יותר.
11. 10 ס"מ — היקף = π × d → 31.4 = 3.14 × d → d = 31.4 ÷ 3.14 = 10 ס"מ.
12. גזרה כוללת 2 רדיוסים; פלח מוגבל על ידי מיתר וקשת — גזרה מוגבלת בשני רדיוסים ובקשת. פלח מוגבל על ידי מיתר וקשת — כמו 'חתיכה' מהמעגל בלי המרכז.
13. 44 ס"מ — היקף = π × d = (22/7) × 14 = 22 × 2 = 44 ס"מ.
14. 12 ס"מ — חצי מיתר = √(10² - 8²) = √(100 - 64) = √36 = 6 ס"מ. אורך מלא = 6 × 2 = 12 ס"מ.
15. רבע מהמעגל — 360° הוא מעגל שלם. 90° / 360° = 1/4. לכן הגזרה היא רבע מהמעגל.
16. הם שווים באורכם — מיתרים שמרחקם מהמרכז שווה — אורכם שווה. זו תכונה מרכזית של מיתרים שווי מרחק.
17. 20 ס"מ — 120° מהיקף = (120/360) × 60 = (1/3) × 60 = 20 ס"מ.
18. 10 ס"מ — חצי מיתר = 8 ס"מ. ניצב מהמרכז = 6 ס"מ. רדיוס² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100. רדיוס = 10 ס"מ.
19. 8 ס"מ — כשמעגלים חיצוניים זה לזה, המרחק בין מרכזיהם שווה לסכום רדיוסיהם: 3 + 5 = 8 ס"מ.
20. 12.56 ס"מ — היקף מלא = π × d = 3.14 × 20 = 62.8 ס"מ. קשת = (72/360) × 62.8 = 0.2 × 62.8 = 12.56 ס"מ.