טריגונומטריה — תרגול מסכם לכיתה ט'

פתרונות

1. 4 — tan²60° + 1 = (√3)² + 1 = 3 + 1 = 4. ולאימות: 1/cos²60° = 1/(1/2)² = 1/(1/4) = 4. ✓
2. 30° — sin(α) = 5/10 = 0.5, לכן α = sin⁻¹(0.5) = 30°.
3. 5/12 — tan = ניגדית / סמוכה. הצלע הנגדית 5, הסמוכה 12. tan = 5/12.
4. 0.5 — sin(150°) = sin(180° − 30°) = sin(30°) = 0.5.
5. 84 ס״מ² — sin α = 7/25, ניגדית = 7. יתר = 25. סמוכה = √(625−49) = √576 = 24. שטח = (1/2) × 7 × 24 = 84.
6. 30/√3 ≈ 17.3 מ' — tan(60°) = גובה/צל ⟹ √3 = 30/צל ⟹ צל = 30/√3 ≈ 17.3 מ'.
7. 6 ס״מ — sin(30°) = מול/יתר. מול = 0.5 · 12 = 6 ס״מ.
8. 30° — cos(30°) = √3/2, לכן α = 30°.
9. 1/2 — cos(60°) = 1/2 — ערך בסיסי בטריגונומטריה.
10. ≈ 69 מ׳ — tan(30°) = גובה / צל → צל = גובה / tan(30°) = 40 / 0.577 ≈ 69 מ׳.
11. 36.87° — גובה = 9 מ׳. tan(α) = 9/12 = 0.75 → α ≈ 36.87°.
12. 0 — הגובה במשולש שווה צלעות הוא מאונך לבסיס, כלומר הזווית ביניהם היא 90°, וcos(90°) = 0.
13. 12/13 — sin²α = 1 − cos²α = 1 − 25/169 = 144/169, ולכן sin α = 12/13.
14. t = π/4 — sin(t) = cos(t) כאשר tan(t) = 1, כלומר t = π/4.
15. הצלע הניצבת מול α חלקי היתר — sin α = צלע מול / היתר. זוהי ההגדרה הבסיסית של פונקציית הסינוס.
16. sin²α + cos²α = 1 — sin²α + cos²α = 1 היא הזהות הפיתגוראית הבסיסית, הנובעת ישירות ממשפט פיתגורס.
17. 3/4 — tan α = sin α / cos α = (3/5) / (4/5) = 3/4.
18. 2 מ' — cos(θ) מינימלי כש-cos(θ) = −1. אז h = 1 − (−1) = 2 מ'.
19. 12/13 — cos = 5/13: סמוכה=5, יתר=13. ניגדית = √(169−25) = √144 = 12. sin = 12/13.
20. 24/25 — cos²α = 1 − (7/25)² = 1 − 49/625 = 576/625 → cos α = 24/25.
21. 60° — cos(α) = ניצב צמוד / יתר = 4/8 = 0.5, לכן α = 60°.
22. 1/2 — ערך סינוס של 30° הוא 0.5 = 1/2 (ערך בסיסי בטריגונומטריה).
23. a√2 — בריבוע, האלכסון = a√2 (ממשפט פיתגורס: √(a²+a²) = a√2).
24. 5 ס״מ — לפי משפט פיתגורס: √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 ס״מ.
25. 6 ס״מ — sin(60°) = √3/2 = 3√3/יתר, לכן יתר = 3√3 / (√3/2) = 3√3 · 2/√3 = 6 ס״מ.