טריגונומטריה — תרגול מסכם לכיתה ט'

פתרונות

1. 4√3 ס״מ — tan(60°) = ניצב נגדי / ניצב צמוד = √3, לכן ניצב נגדי = 4√3 ס״מ.
2. 2/3 — tan = עלייה / רוחב = 20/30 = 2/3.
3. 1/2 — ערך סינוס של 30° הוא 0.5 = 1/2 (ערך בסיסי בטריגונומטריה).
4. 30/√3 ≈ 17.3 מ' — tan(60°) = גובה/צל ⟹ √3 = 30/צל ⟹ צל = 30/√3 ≈ 17.3 מ'.
5. נכון: 1 − 3/4 = 1/4 — sin²α = (√3/2)² = 3/4. cos²α = 1 − 3/4 = 1/4. ✓
6. 30° — sin(α) = 5/10 = 0.5, לכן α = sin⁻¹(0.5) = 30°.
7. 6√3 ס״מ — cos(30°) = ניצב צמוד / יתר, לכן ניצב צמוד = 12 · cos(30°) = 12 · √3/2 = 6√3 ס״מ.
8. 7 ס״מ — tan 45° = 1 = ניגדית / סמוכה. אם ניגדית = 7, אז סמוכה = 7.
9. 4 — tan²60° + 1 = (√3)² + 1 = 3 + 1 = 4. ולאימות: 1/cos²60° = 1/(1/2)² = 1/(1/4) = 4. ✓
10. 8√3 מ׳ — sin(60°) = 12/חוט → חוט = 12/sin(60°) = 12/(√3/2) = 24/√3 = 8√3 מ׳.
11. 2 מ' — cos(θ) מינימלי כש-cos(θ) = −1. אז h = 1 − (−1) = 2 מ'.
12. 30° — sin(30°) = 0.5, לכן α = 30°.
13. 0.51 — מהזהות sin²α + cos²α = 1: cos²α = 1 − 0.49 = 0.51.
14. 5/13 — tan = 5/12: ניגדית=5, סמוכה=12. יתר = √(25+144) = 13. sin = 5/13.
15. 3.49 מ׳ — היסט = 40 × sin(5°) = 40 × 0.0872 ≈ 3.49 מ׳.
16. 10√3 ס״מ — cos(30°) = ניצב צמוד / 20 = √3/2, לכן ניצב צמוד = 20 · √3/2 = 10√3 ס״מ.
17. 5 ס״מ — לפי משפט פיתגורס: √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 ס״מ.
18. 4/5 — sin²(α) + cos²(α) = 1. sin²(α) = 1 − 9/25 = 16/25. sin(α) = 4/5.
19. t = π/4 — sin(t) = cos(t) כאשר tan(t) = 1, כלומר t = π/4.
20. √3 ס״מ — הגובה מחצה את הבסיס, ומקבלים משולש ישר זווית עם זווית 60°, יתר 2, ניצב הצמוד 1. גובה = 2·sin(60°) = 2·√3/2 = √3.
21. הצלע הניצבת מול α חלקי הצלע הסמוכה — tan α = צלע מול / צלע סמוכה. זוהי ההגדרה הבסיסית של פונקציית הטנגנס.
22. 50 ס״מ² — שטח ריבוע = d²/2 = 100/2 = 50 ס״מ².
23. 3/4 — tan α = sin α / cos α = (3/5) / (4/5) = 3/4.
24. 36.87° — גובה = 9 מ׳. tan(α) = 9/12 = 0.75 → α ≈ 36.87°.
25. 10 ס״מ — sin(30°) = 0.5 = 5/יתר, לכן יתר = 5/0.5 = 10 ס״מ.