טריגונומטריה — תרגול מסכם לכיתה ט'

פתרונות

1. 4/5 — sin²(α) + cos²(α) = 1. cos²(α) = 1 − 9/25 = 16/25. cos(α) = 4/5.
2. 36.87° — גובה = 9 מ׳. tan(α) = 9/12 = 0.75 → α ≈ 36.87°.
3. 0.51 — מהזהות sin²α + cos²α = 1: cos²α = 1 − 0.49 = 0.51.
4. 36.87° — tan(α) = 15/20 = 0.75 → α = arctan(0.75) ≈ 36.87°.
5. 2/3 — tan = עלייה / רוחב = 20/30 = 2/3.
6. a√2 — בריבוע, האלכסון = a√2 (ממשפט פיתגורס: √(a²+a²) = a√2).
7. 45° — tan(α) = 6/6 = 1, לכן α = 45°.
8. ≈ 69 מ׳ — tan(30°) = גובה / צל → צל = גובה / tan(30°) = 40 / 0.577 ≈ 69 מ׳.
9. √3/3 — tan α = sin α / cos α = 0.5 / (√3/2) = (1/2) / (√3/2) = 1/√3 = √3/3.
10. 30° — sin(30°) = 0.5, לכן α = 30°.
11. הצלע הניצבת מול α חלקי היתר — sin α = צלע מול / היתר. זוהי ההגדרה הבסיסית של פונקציית הסינוס.
12. 173 מ׳ — tan 60° = גובה/100 → גובה = 100·√3 ≈ 173 מ׳.
13. 60° — cos(α) = ניצב צמוד / יתר = 4/8 = 0.5, לכן α = 60°.
14. 1 — האלכסונים של ריבוע מאונכים זה לזה, לכן הזווית ביניהם 90°. sin(90°) = 1.
15. כ-37° — tan(α) = 3/4 = 0.75. tan⁻¹(0.75) ≈ 36.87° ≈ 37°.
16. הצלע הניצבת הסמוכה ל־α חלקי היתר — cos α = צלע סמוכה / היתר. זוהי ההגדרה הבסיסית של פונקציית הקוסינוס.
17. 4/5 — sin = צלע נגדית / יתר. הצלע מול הזווית היא 4, היתר 5. sin = 4/5.
18. 9√3 ס״מ² — גובה = 6·sin(60°) = 6·√3/2 = 3√3. שטח = (1/2)·6·3√3 = 9√3 ס״מ².
19. 10√3 ס״מ — cos(30°) = ניצב צמוד / 20 = √3/2, לכן ניצב צמוד = 20 · √3/2 = 10√3 ס״מ.
20. 5/12 — tan = ניגדית / סמוכה. הצלע הנגדית 5, הסמוכה 12. tan = 5/12.
21. 5/13 — AC = √(25+144) = 13. cos(∠BAC) = AB/AC = 5/13.
22. 7√2 ס״מ — sin(45°) = √2/2, לכן 7/יתר = √2/2, ומכאן יתר = 7/(√2/2) = 7 · 2/√2 = 7√2 ס״מ.
23. 4 ס״מ — cos 60° = סמוכה / יתר. 0.5 = סמוכה / 8. סמוכה = 4 ס״מ.
24. 84 ס״מ² — sin α = 7/25, ניגדית = 7. יתר = 25. סמוכה = √(625−49) = √576 = 24. שטח = (1/2) × 7 × 24 = 84.
25. 6 ס״מ — sin(30°) = מול/יתר. מול = 0.5 · 12 = 6 ס״מ.