טריגונומטריה — תרגול מסכם לכיתה ט'

פתרונות

1. הצלע הניצבת מול α חלקי היתר — sin α = צלע מול / היתר. זוהי ההגדרה הבסיסית של פונקציית הסינוס.
2. 12/13 — cos = 5/13: סמוכה=5, יתר=13. ניגדית = √(169−25) = √144 = 12. sin = 12/13.
3. הצלע הניצבת מול α חלקי הצלע הסמוכה — tan α = צלע מול / צלע סמוכה. זוהי ההגדרה הבסיסית של פונקציית הטנגנס.
4. 36.87° — tan(α) = 15/20 = 0.75 → α = arctan(0.75) ≈ 36.87°.
5. 24/25 — cos²α = 1 − (7/25)² = 1 − 49/625 = 576/625 → cos α = 24/25.
6. sin²α + cos²α = 1 — sin²α + cos²α = 1 היא הזהות הפיתגוראית הבסיסית, הנובעת ישירות ממשפט פיתגורס.
7. 1.25 — tan(α) = גובה / צל = 5/4 = 1.25.
8. 4/5 — cos = צלע סמוכה / יתר. הצלע הסמוכה לזווית שמולה 3 היא 4, היתר 5. cos = 4/5.
9. 5 ס״מ — sin(30°) = רוחב / אלכסון = 0.5, לכן רוחב = 10 · 0.5 = 5 ס״מ.
10. 10√3 ס״מ — cos(30°) = ניצב צמוד / 20 = √3/2, לכן ניצב צמוד = 20 · √3/2 = 10√3 ס״מ.
11. 4/5 — sin = צלע נגדית / יתר. הצלע מול הזווית היא 4, היתר 5. sin = 4/5.
12. 0.5 — sin(150°) = sin(180° − 30°) = sin(30°) = 0.5.
13. 6√3 ס״מ — cos(30°) = ניצב צמוד / יתר, לכן ניצב צמוד = 12 · cos(30°) = 12 · √3/2 = 6√3 ס״מ.
14. 30° — cos(30°) = √3/2, לכן α = 30°.
15. 5/12 — tan = ניגדית / סמוכה. הצלע הנגדית 5, הסמוכה 12. tan = 5/12.
16. 0.75 — tan = sin/cos = 0.6/0.8 = 0.75.
17. p / √(1 − p²) — cos α = √(1 − sin²α) = √(1 − p²). tan α = sin α / cos α = p / √(1 − p²).
18. 4/5 — sin²α + cos²α = 1. (3/5)² + cos²α = 1. cos²α = 1 − 9/25 = 16/25. cos α = 4/5.
19. 12/13 — sin²α = 1 − cos²α = 1 − 25/169 = 144/169, ולכן sin α = 12/13.
20. 30° — sin(30°) = 0.5, לכן α = 30°.
21. 60° — cos(α) = ניצב צמוד / יתר = 4/8 = 0.5, לכן α = 60°.
22. 1 — לכל זווית α, sin²α + cos²α = 1. לכן גם עבור 30°.
23. ≈ 69 מ׳ — tan(30°) = גובה / צל → צל = גובה / tan(30°) = 40 / 0.577 ≈ 69 מ׳.
24. הצלע הניצבת הסמוכה ל־α חלקי היתר — cos α = צלע סמוכה / היתר. זוהי ההגדרה הבסיסית של פונקציית הקוסינוס.
25. 0.51 — מהזהות sin²α + cos²α = 1: cos²α = 1 − 0.49 = 0.51.