תרגול טריגונומטריה מתקדמת — בגרות 5 יח"ל

פתרונות

1. $x=-30^\circ+360^\circ k$ או $x=210^\circ+360^\circ k$ — למשוואה $\sin x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\alpha+360^\circ k$ או $x=180^\circ-\alpha+360^\circ k$, כאשר $\alpha$ היא זווית עזר. לכן הפתרון הוא $x=-30^\circ+360^\circ k$ או $x=210^\circ+360^\circ k$.
2. $x=-45^\circ+180^\circ k$ — למשוואה $\tan x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\alpha+180^\circ k$, כי לטנגנס תקופה של $180^\circ$. לכן הפתרון הוא $x=-45^\circ+180^\circ k$.
3. $\frac{1}{2}$ — הערך $\cos(60^\circ)=\frac{1}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$x$ של הנקודה המתאימה לזווית.
4. $x=45^\circ+360^\circ k$ או $x=135^\circ+360^\circ k$ — למשוואה $\sin x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\alpha+360^\circ k$ או $x=180^\circ-\alpha+360^\circ k$, כאשר $\alpha$ היא זווית עזר. לכן הפתרון הוא $x=45^\circ+360^\circ k$ או $x=135^\circ+360^\circ k$.
5. $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ — מתקיים $\tan\left(\frac{11\pi}{6}\right)=\frac{\sin\left(\frac{11\pi}{6}\right)}{\cos\left(\frac{11\pi}{6}\right)}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$.
6. $-1$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)=-1$.
7. $\frac{5\pi}{3}$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $300^\circ=300\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{5\pi}{3}$.
8. $30$ — $S=\frac12\cdot5\cdot12\cdot\sin90^\circ=30$.
9. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ — הערך $\sin(300^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
10. $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ — הערך $\sin(315^\circ)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
11. $\frac{1}{2}$ — הערך $\cos(300^\circ)=\frac{1}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$x$ של הנקודה המתאימה לזווית.
12. $-\sqrt{3}$ — מתקיים $\tan(120^\circ)=\frac{\sin(120^\circ)}{\cos(120^\circ)}=-\sqrt{3}$.
13. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.
14. $x=60^\circ,\ x=120^\circ$ — מוצאים את הפתרון הכללי ובוחרים מתוכו את הערכים שנמצאים בתחום $0^\circ\le x<360^\circ$. הפתרונות הם $x=60^\circ,\ x=120^\circ$.
15. $-\sin\alpha$ — $\sin$ היא פונקציה אי-זוגית. לכן התשובה היא $-\sin\alpha$.
16. $-\frac{7}{25}$ — לפי נוסחת הזווית הכפולה: $2\cos^2\alpha-1=2\cdot\frac{9}{25}-1=-\frac{7}{25}$.
17. $-\sqrt{3}$ — מתקיים $\tan\left(\frac{5\pi}{3}\right)=\frac{\sin\left(\frac{5\pi}{3}\right)}{\cos\left(\frac{5\pi}{3}\right)}=-\sqrt{3}$.
18. $\sqrt{3}$ — מתקיים $\tan(240^\circ)=\frac{\sin(240^\circ)}{\cos(240^\circ)}=\sqrt{3}$.
19. $1$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(2\pi\right)=1$.
20. $1$ — זוהי זהות היסוד הטריגונומטרית. לכן התשובה היא $1$.
21. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\frac{7\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.
22. $\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$ — נוסחת הסכום לקוסינוס. לכן התשובה היא $\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$.
23. $x=90^\circ+180^\circ k$ — למשוואה $\cos x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\pm\alpha+360^\circ k$, כאשר $\alpha$ זווית עזר. לכן הפתרון הוא $x=90^\circ+180^\circ k$.
24. $0$ — הערך $\sin(360^\circ)=0$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
25. $-\frac{1}{2}$ — הערך $\cos(240^\circ)=-\frac{1}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$x$ של הנקודה המתאימה לזווית.
26. $x=0^\circ,\ x=180^\circ$ — מוצאים את הפתרון הכללי ובוחרים מתוכו את הערכים שנמצאים בתחום $0^\circ\le x<360^\circ$. הפתרונות הם $x=0^\circ,\ x=180^\circ$.
27. $\frac{12}{13}$ — לפי זהות היסוד $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ מקבלים את הערך המוחלט, והסימן נקבע לפי הרביע ראשון. לכן $\cos\alpha=\frac{12}{13}$.
28. $\cos\alpha$ — זהות הזוויות המשלימות. לכן התשובה היא $\cos\alpha$.
29. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ — הערך $\sin(120^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
30. $8$ — $S=\frac12\cdot4\cdot4\cdot\sin90^\circ=8\cdot1=8$.
31. $-\frac{7}{25}$ — לפי נוסחת הזווית הכפולה: $1-2\sin^2\alpha=1-2\cdot\frac{16}{25}=-\frac{7}{25}$.
32. $x=135^\circ,\ x=225^\circ$ — מוצאים את הפתרון הכללי ובוחרים מתוכו את הערכים שנמצאים בתחום $0^\circ\le x<360^\circ$. הפתרונות הם $x=135^\circ,\ x=225^\circ$.
33. $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
34. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
35. $120^\circ$ — התקופה היא $\frac{360^\circ}{3}=120^\circ$.