תרגול טריגונומטריה מתקדמת — בגרות 5 יח"ל

פתרונות

1. $\cos^2\alpha$ — נובע מ-$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$. לכן התשובה היא $\cos^2\alpha$.
2. $\cos\alpha$ — $\cos$ היא פונקציה זוגית. לכן התשובה היא $\cos\alpha$.
3. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
4. $-\frac{1}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right)=-\frac{1}{2}$.
5. $0$ — הערך $\cos(90^\circ)=0$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$x$ של הנקודה המתאימה לזווית.
6. $\frac{\pi}{2}$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $90^\circ=90\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{\pi}{2}$.
7. $\tan\alpha$ — זוהי הגדרת הטנגנס. לכן התשובה היא $\tan\alpha$.
8. $\frac{1}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}$.
9. $x=180^\circ+360^\circ k$ — למשוואה $\cos x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\pm\alpha+360^\circ k$, כאשר $\alpha$ זווית עזר. לכן הפתרון הוא $x=180^\circ+360^\circ k$.
10. $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ — הערך $\cos(135^\circ)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$x$ של הנקודה המתאימה לזווית.
11. $3$ — המשרעת היא הערך המוחלט של המקדם, $3$.
12. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
13. $1$ — הערך $\cos(360^\circ)=1$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$x$ של הנקודה המתאימה לזווית.
14. $-\frac{1}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\frac{4\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2}$.
15. $1$ — הערך $\sin(90^\circ)=1$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
16. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ — הערך $\sin(300^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
17. $\frac{1}{2}$ — הערך $\cos(60^\circ)=\frac{1}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$x$ של הנקודה המתאימה לזווית.
18. $0$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right)=0$.
19. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\frac{5\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.
20. $x=180^\circ k$ — למשוואה $\tan x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\alpha+180^\circ k$, כי לטנגנס תקופה של $180^\circ$. לכן הפתרון הוא $x=180^\circ k$.
21. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
22. $-4$ — המינימום מתקבל כש-$\cos x=-1$: $3\cdot(-1)-1=-4$.
23. $x=60^\circ+360^\circ k$ או $x=120^\circ+360^\circ k$ — למשוואה $\sin x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\alpha+360^\circ k$ או $x=180^\circ-\alpha+360^\circ k$, כאשר $\alpha$ היא זווית עזר. לכן הפתרון הוא $x=60^\circ+360^\circ k$ או $x=120^\circ+360^\circ k$.
24. $\sqrt{49}=7$ — $c^2=25+64-2\cdot5\cdot8\cdot\frac12=89-40=49,\ c=7$.
25. $\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$ — נוסחת ההפרש לקוסינוס. לכן התשובה היא $\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$.
26. $300^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $\frac{5\pi}{3}=300^\circ$.
27. $120^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $\frac{2\pi}{3}=120^\circ$.
28. $30$ — $S=\frac12\cdot5\cdot12\cdot\sin90^\circ=30$.
29. $180^\circ$ — התקופה היא $\frac{360^\circ}{2}=180^\circ$.
30. $2\pi$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $360^\circ=360\cdot\frac{\pi}{180}=2\pi$.
31. $0$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\pi\right)=0$.
32. $0$ — מתקיים $\tan(0^\circ)=\frac{\sin(0^\circ)}{\cos(0^\circ)}=0$.
33. $-\frac{4}{5}$ — לפי זהות היסוד $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ מקבלים את הערך המוחלט, והסימן נקבע לפי הרביע שני. לכן $\cos\alpha=-\frac{4}{5}$.
34. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
35. $0$ — מתקיים $\tan\left(\pi\right)=\frac{\sin\left(\pi\right)}{\cos\left(\pi\right)}=0$.