תרגול טריגונומטריה מתקדמת — בגרות 5 יח"ל

פתרונות

1. $x=60^\circ,\ x=300^\circ$ — מוצאים את הפתרון הכללי ובוחרים מתוכו את הערכים שנמצאים בתחום $0^\circ\le x<360^\circ$. הפתרונות הם $x=60^\circ,\ x=300^\circ$.
2. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\frac{4\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.
3. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
4. $\frac{7\pi}{6}$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $210^\circ=210\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{7\pi}{6}$.
5. $\frac{1}{\cos^2\alpha}$ — מחלקים את זהות היסוד ב-$\cos^2\alpha$. לכן התשובה היא $\frac{1}{\cos^2\alpha}$.
6. $\frac{1}{2}$ — הערך $\sin(30^\circ)=\frac{1}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
7. $0$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right)=0$.
8. $\frac{3\pi}{2}$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $270^\circ=270\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{3\pi}{2}$.
9. $\frac{\sqrt{3}}{3}$ — מתקיים $\tan(210^\circ)=\frac{\sin(210^\circ)}{\cos(210^\circ)}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
10. $\dfrac{1}{2}$ — ערך טריגונומטרי ידוע: $\sin(30^\circ)=\frac{1}{2}$.
11. $15$ — $S=\frac12\cdot6\cdot10\cdot\sin30^\circ=30\cdot\frac12=15$.
12. $0$ — הערך $\sin(0^\circ)=0$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
13. $3$ — המקסימום מתקבל כש-$\sin x=1$: $2\cdot1+1=3$.
14. $1$ — זוהי זהות היסוד הטריגונומטרית. לכן התשובה היא $1$.
15. $30$ — $S=\frac12\cdot5\cdot12\cdot\sin90^\circ=30$.
16. $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ — הערך $\sin(225^\circ)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
17. $360^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $2\pi=360^\circ$.
18. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\frac{11\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
19. $-\frac{1}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2}$.
20. $x=135^\circ,\ x=225^\circ$ — מוצאים את הפתרון הכללי ובוחרים מתוכו את הערכים שנמצאים בתחום $0^\circ\le x<360^\circ$. הפתרונות הם $x=135^\circ,\ x=225^\circ$.
21. $270^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $\frac{3\pi}{2}=270^\circ$.
22. $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ — הערך $\sin(315^\circ)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
23. $37$ — $c^2=49+9-2\cdot7\cdot3\cdot\frac12=58-21=37$.
24. $180^\circ$ — התקופה של טנגנס היא $180^\circ$.
25. $\frac{\sqrt{3}}{3}$ — מתקיים $\tan(30^\circ)=\frac{\sin(30^\circ)}{\cos(30^\circ)}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
26. $\frac{\pi}{3}$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $60^\circ=60\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{\pi}{3}$.
27. $-\sin\alpha$ — $\sin$ היא פונקציה אי-זוגית. לכן התשובה היא $-\sin\alpha$.
28. $\frac{24}{25}$ — לפי נוסחת הזווית הכפולה: $2\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{4}{5}=\frac{24}{25}$.
29. $x=180^\circ+360^\circ k$ — למשוואה $\cos x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\pm\alpha+360^\circ k$, כאשר $\alpha$ זווית עזר. לכן הפתרון הוא $x=180^\circ+360^\circ k$.
30. $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
31. $\frac{4}{5}$ — לפי זהות היסוד $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ מקבלים את הערך המוחלט, והסימן נקבע לפי הרביע שני. לכן $\sin\alpha=\frac{4}{5}$.
32. $-\frac{1}{2}$ — הערך $\sin(210^\circ)=-\frac{1}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
33. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ — הערך $\sin(240^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
34. $-4$ — המינימום מתקבל כש-$\cos x=-1$: $3\cdot(-1)-1=-4$.
35. $-1$ — מתקיים $\tan(315^\circ)=\frac{\sin(315^\circ)}{\cos(315^\circ)}=-1$.