תרגול טריגונומטריה מתקדמת — בגרות 5 יח"ל

פתרונות

1. $-\sqrt{3}$ — מתקיים $\tan\left(\frac{2\pi}{3}\right)=\frac{\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)}{\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)}=-\sqrt{3}$.
2. $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ — הערך $\cos(225^\circ)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$x$ של הנקודה המתאימה לזווית.
3. $x=\pm45^\circ+360^\circ k$ — למשוואה $\cos x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\pm\alpha+360^\circ k$, כאשר $\alpha$ זווית עזר. לכן הפתרון הוא $x=\pm45^\circ+360^\circ k$.
4. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\frac{11\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
5. $-\frac{1}{2}$ — הערך $\cos(240^\circ)=-\frac{1}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$x$ של הנקודה המתאימה לזווית.
6. $-\frac{3}{5}$ — לפי זהות היסוד $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ מקבלים את הערך המוחלט, והסימן נקבע לפי הרביע רביעי. לכן $\sin\alpha=-\frac{3}{5}$.
7. $x=90^\circ+180^\circ k$ — למשוואה $\cos x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\pm\alpha+360^\circ k$, כאשר $\alpha$ זווית עזר. לכן הפתרון הוא $x=90^\circ+180^\circ k$.
8. $-\frac{1}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\frac{11\pi}{6}\right)=-\frac{1}{2}$.
9. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ — הערך $\cos(330^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$x$ של הנקודה המתאימה לזווית.
10. $-1$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\pi\right)=-1$.
11. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
12. $-1\le y\le 1$ — סינוס מקבל ערכים בין $-1$ ל-$1$.
13. $\sin(2\alpha)$ — זוהי נוסחת הזווית הכפולה לסינוס בכיוון ההפוך. לכן התשובה היא $\sin(2\alpha)$.
14. $\frac{3}{5}$ — לפי זהות היסוד $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ מקבלים את הערך המוחלט, והסימן נקבע לפי הרביע ראשון. לכן $\sin\alpha=\frac{3}{5}$.
15. $\frac{3\pi}{2}$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $270^\circ=270\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{3\pi}{2}$.
16. $-\tan\alpha$ — $\tan$ היא פונקציה אי-זוגית. לכן התשובה היא $-\tan\alpha$.
17. $x=210^\circ,\ x=330^\circ$ — מוצאים את הפתרון הכללי ובוחרים מתוכו את הערכים שנמצאים בתחום $0^\circ\le x<360^\circ$. הפתרונות הם $x=210^\circ,\ x=330^\circ$.
18. $0$ — הערך $\sin(180^\circ)=0$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
19. $\frac{\pi}{2}$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $90^\circ=90\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{\pi}{2}$.
20. $-1$ — מתקיים $\tan(315^\circ)=\frac{\sin(315^\circ)}{\cos(315^\circ)}=-1$.
21. $\frac{1}{2}$ — הערך $\sin(150^\circ)=\frac{1}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
22. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ — הערך $\sin(45^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
23. $1$ — מתקיים $\tan\left(\frac{5\pi}{4}\right)=\frac{\sin\left(\frac{5\pi}{4}\right)}{\cos\left(\frac{5\pi}{4}\right)}=1$.
24. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ — הערך $\sin(135^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
25. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ — הערך $\cos(150^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$x$ של הנקודה המתאימה לזווית.
26. $x=135^\circ,\ x=225^\circ$ — מוצאים את הפתרון הכללי ובוחרים מתוכו את הערכים שנמצאים בתחום $0^\circ\le x<360^\circ$. הפתרונות הם $x=135^\circ,\ x=225^\circ$.
27. $0$ — מתקיים $\tan(360^\circ)=\frac{\sin(360^\circ)}{\cos(360^\circ)}=0$.
28. $225^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $\frac{5\pi}{4}=225^\circ$.
29. $\cos^2\alpha$ — נובע מ-$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$. לכן התשובה היא $\cos^2\alpha$.
30. $x=\pm30^\circ+360^\circ k$ — למשוואה $\cos x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\pm\alpha+360^\circ k$, כאשר $\alpha$ זווית עזר. לכן הפתרון הוא $x=\pm30^\circ+360^\circ k$.
31. $\frac{1}{2}$ — הערך $\sin(30^\circ)=\frac{1}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
32. $300^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $\frac{5\pi}{3}=300^\circ$.
33. $\sqrt{3}$ — מתקיים $\tan(60^\circ)=\frac{\sin(60^\circ)}{\cos(60^\circ)}=\sqrt{3}$.
34. $\frac{2\pi}{3}$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $120^\circ=120\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{2\pi}{3}$.
35. $\frac{\pi}{6}$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $30^\circ=30\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{\pi}{6}$.