תרגול טריגונומטריה מתקדמת — בגרות 5 יח"ל

פתרונות

1. $x=90^\circ,\ x=270^\circ$ — מוצאים את הפתרון הכללי ובוחרים מתוכו את הערכים שנמצאים בתחום $0^\circ\le x<360^\circ$. הפתרונות הם $x=90^\circ,\ x=270^\circ$.
2. $\frac{3}{5}$ — לפי זהות היסוד $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ מקבלים את הערך המוחלט, והסימן נקבע לפי הרביע ראשון. לכן $\sin\alpha=\frac{3}{5}$.
3. $\frac{5\pi}{4}$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $225^\circ=225\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{5\pi}{4}$.
4. $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\frac{5\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
5. $30^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $\frac{\pi}{6}=30^\circ$.
6. $-\frac{1}{2}$ — הערך $\cos(240^\circ)=-\frac{1}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$x$ של הנקודה המתאימה לזווית.
7. $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ — הערך $\cos(135^\circ)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$x$ של הנקודה המתאימה לזווית.
8. $x=\pm60^\circ+360^\circ k$ — למשוואה $\cos x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\pm\alpha+360^\circ k$, כאשר $\alpha$ זווית עזר. לכן הפתרון הוא $x=\pm60^\circ+360^\circ k$.
9. $\frac{\pi}{3}$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $60^\circ=60\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{\pi}{3}$.
10. $\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$ — נוסחת ההפרש לסינוס. לכן התשובה היא $\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$.
11. $x=30^\circ,\ x=150^\circ$ — מוצאים את הפתרון הכללי ובוחרים מתוכו את הערכים שנמצאים בתחום $0^\circ\le x<360^\circ$. הפתרונות הם $x=30^\circ,\ x=150^\circ$.
12. $1$ — מתקיים $\tan(225^\circ)=\frac{\sin(225^\circ)}{\cos(225^\circ)}=1$.
13. $\frac{1}{2}$ — הערך $\cos(300^\circ)=\frac{1}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$x$ של הנקודה המתאימה לזווית.
14. $\sqrt{3}$ — מתקיים $\tan\left(\frac{4\pi}{3}\right)=\frac{\sin\left(\frac{4\pi}{3}\right)}{\cos\left(\frac{4\pi}{3}\right)}=\sqrt{3}$.
15. $\frac{1}{2}$ — הערך $\cos(60^\circ)=\frac{1}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$x$ של הנקודה המתאימה לזווית.
16. $x=135^\circ,\ x=225^\circ$ — מוצאים את הפתרון הכללי ובוחרים מתוכו את הערכים שנמצאים בתחום $0^\circ\le x<360^\circ$. הפתרונות הם $x=135^\circ,\ x=225^\circ$.
17. $\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$ — אחת מצורות נוסחת הזווית הכפולה לקוסינוס. לכן התשובה היא $\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$.
18. $x=\pm30^\circ+360^\circ k$ — למשוואה $\cos x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\pm\alpha+360^\circ k$, כאשר $\alpha$ זווית עזר. לכן הפתרון הוא $x=\pm30^\circ+360^\circ k$.
19. $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ — מתקיים $\tan(330^\circ)=\frac{\sin(330^\circ)}{\cos(330^\circ)}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$.
20. $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
21. $\pi$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $180^\circ=180\cdot\frac{\pi}{180}=\pi$.
22. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ — הערך $\sin(240^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
23. $\sqrt{49}=7$ — $c^2=25+64-2\cdot5\cdot8\cdot\frac12=89-40=49,\ c=7$.
24. $-\sqrt{3}$ — מתקיים $\tan\left(\frac{2\pi}{3}\right)=\frac{\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)}{\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)}=-\sqrt{3}$.
25. $-1$ — מתקיים $\tan(315^\circ)=\frac{\sin(315^\circ)}{\cos(315^\circ)}=-1$.
26. $\sin\alpha$ — זהות הזוויות המשלימות. לכן התשובה היא $\sin\alpha$.
27. $0$ — מתקיים $\tan(0^\circ)=\frac{\sin(0^\circ)}{\cos(0^\circ)}=0$.
28. $1$ — מתקיים $\tan(45^\circ)=\frac{\sin(45^\circ)}{\cos(45^\circ)}=1$.
29. $\sin^2\alpha$ — נובע מ-$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$. לכן התשובה היא $\sin^2\alpha$.
30. $x=60^\circ,\ x=300^\circ$ — מוצאים את הפתרון הכללי ובוחרים מתוכו את הערכים שנמצאים בתחום $0^\circ\le x<360^\circ$. הפתרונות הם $x=60^\circ,\ x=300^\circ$.
31. $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ — מתקיים $\tan(150^\circ)=\frac{\sin(150^\circ)}{\cos(150^\circ)}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$.
32. $x=210^\circ,\ x=330^\circ$ — מוצאים את הפתרון הכללי ובוחרים מתוכו את הערכים שנמצאים בתחום $0^\circ\le x<360^\circ$. הפתרונות הם $x=210^\circ,\ x=330^\circ$.
33. $135^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $\frac{3\pi}{4}=135^\circ$.
34. $x=30^\circ+180^\circ k$ — למשוואה $\tan x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\alpha+180^\circ k$, כי לטנגנס תקופה של $180^\circ$. לכן הפתרון הוא $x=30^\circ+180^\circ k$.
35. $-\frac{1}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right)=-\frac{1}{2}$.