תרגול טריגונומטריה מתקדמת — בגרות 5 יח"ל

פתרונות

1. $x=30^\circ,\ x=150^\circ$ — מוצאים את הפתרון הכללי ובוחרים מתוכו את הערכים שנמצאים בתחום $0^\circ\le x<360^\circ$. הפתרונות הם $x=30^\circ,\ x=150^\circ$.
2. $\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$ — נוסחת ההפרש לסינוס. לכן התשובה היא $\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$.
3. $\frac{\pi}{12}$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $15^\circ=15\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{\pi}{12}$.
4. $0$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$.
5. $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ — מתקיים $\tan\left(\frac{5\pi}{6}\right)=\frac{\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)}{\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right)}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$.
6. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ — הערך $\cos(315^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$x$ של הנקודה המתאימה לזווית.
7. $x=\pm45^\circ+360^\circ k$ — למשוואה $\cos x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\pm\alpha+360^\circ k$, כאשר $\alpha$ זווית עזר. לכן הפתרון הוא $x=\pm45^\circ+360^\circ k$.
8. $\frac{\pi}{4}$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $45^\circ=45\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{\pi}{4}$.
9. $20$ — $b=\frac{a\sin B}{\sin A}=\frac{10\cdot1}{\frac12}=20$.
10. $-\frac{1}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\frac{11\pi}{6}\right)=-\frac{1}{2}$.
11. $\frac{\sqrt{3}}{3}$ — מתקיים $\tan(30^\circ)=\frac{\sin(30^\circ)}{\cos(30^\circ)}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
12. $x=-45^\circ+180^\circ k$ — למשוואה $\tan x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\alpha+180^\circ k$, כי לטנגנס תקופה של $180^\circ$. לכן הפתרון הוא $x=-45^\circ+180^\circ k$.
13. $3$ — המשרעת היא הערך המוחלט של המקדם, $3$.
14. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
15. $\frac{7}{25}$ — לפי נוסחת הזווית הכפולה: $\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=\frac{16}{25}-\frac{9}{25}=\frac{7}{25}$.
16. $x=180^\circ k$ — למשוואה $\sin x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\alpha+360^\circ k$ או $x=180^\circ-\alpha+360^\circ k$, כאשר $\alpha$ היא זווית עזר. לכן הפתרון הוא $x=180^\circ k$.
17. $30$ — $S=\frac12\cdot5\cdot12\cdot\sin90^\circ=30$.
18. $30^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $\frac{\pi}{6}=30^\circ$.
19. $-\cos\alpha$ — ברביע השני הקוסינוס שלילי. לכן התשובה היא $-\cos\alpha$.
20. $1$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1$.
21. $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ — הערך $\sin(225^\circ)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
22. $\sin^2\alpha$ — נובע מ-$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$. לכן התשובה היא $\sin^2\alpha$.
23. $\frac{1}{2}$ — הערך $\sin(150^\circ)=\frac{1}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
24. $0$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(2\pi\right)=0$.
25. $2$ — המשרעת היא $|-2|=2$.
26. $1$ — הערך $\cos(360^\circ)=1$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$x$ של הנקודה המתאימה לזווית.
27. $\frac{5\pi}{3}$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $300^\circ=300\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{5\pi}{3}$.
28. $-\tan\alpha$ — $\tan$ היא פונקציה אי-זוגית. לכן התשובה היא $-\tan\alpha$.
29. $-\frac{1}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2}$.
30. $360^\circ$ — התקופה הבסיסית של סינוס היא $360^\circ$.
31. $\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$ — אחת מצורות נוסחת הזווית הכפולה לקוסינוס. לכן התשובה היא $\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$.
32. $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
33. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ — הערך $\sin(300^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
34. $0$ — מתקיים $\tan\left(\pi\right)=\frac{\sin\left(\pi\right)}{\cos\left(\pi\right)}=0$.
35. $300^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $\frac{5\pi}{3}=300^\circ$.