תרגול טריגונומטריה מתקדמת — בגרות 5 יח"ל

פתרונות

1. $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ — מתקיים $\tan\left(\frac{5\pi}{6}\right)=\frac{\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)}{\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right)}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$.
2. $8$ — $S=\frac12\cdot4\cdot4\cdot\sin90^\circ=8\cdot1=8$.
3. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
4. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ — הערך $\sin(60^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
5. $\frac{5}{13}$ — לפי זהות היסוד $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ מקבלים את הערך המוחלט, והסימן נקבע לפי הרביע ראשון. לכן $\sin\alpha=\frac{5}{13}$.
6. $x=\pm60^\circ+360^\circ k$ — למשוואה $\cos x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\pm\alpha+360^\circ k$, כאשר $\alpha$ זווית עזר. לכן הפתרון הוא $x=\pm60^\circ+360^\circ k$.
7. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ — הערך $\sin(240^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
8. $\frac{\sqrt{3}}{3}$ — מתקיים $\tan\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
9. $\frac{\pi}{2}$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $90^\circ=90\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{\pi}{2}$.
10. $0$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\pi\right)=0$.
11. $-\frac{1}{2}$ — הערך $\sin(210^\circ)=-\frac{1}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
12. $\frac{5\pi}{6}$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $150^\circ=150\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{5\pi}{6}$.
13. $\tan\alpha$ — זוהי הגדרת הטנגנס. לכן התשובה היא $\tan\alpha$.
14. $3$ — המשרעת היא הערך המוחלט של המקדם, $3$.
15. $\pi$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $180^\circ=180\cdot\frac{\pi}{180}=\pi$.
16. $\frac{1}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}$.
17. $x=90^\circ+180^\circ k$ — למשוואה $\cos x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\pm\alpha+360^\circ k$, כאשר $\alpha$ זווית עזר. לכן הפתרון הוא $x=90^\circ+180^\circ k$.
18. $x=0^\circ,\ x=180^\circ$ — מוצאים את הפתרון הכללי ובוחרים מתוכו את הערכים שנמצאים בתחום $0^\circ\le x<360^\circ$. הפתרונות הם $x=0^\circ,\ x=180^\circ$.
19. $0$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right)=0$.
20. $\frac{12}{13}$ — לפי זהות היסוד $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ מקבלים את הערך המוחלט, והסימן נקבע לפי הרביע ראשון. לכן $\cos\alpha=\frac{12}{13}$.
21. $15$ — $S=\frac12\cdot6\cdot10\cdot\sin30^\circ=30\cdot\frac12=15$.
22. $300^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $\frac{5\pi}{3}=300^\circ$.
23. $0$ — מתקיים $\tan(360^\circ)=\frac{\sin(360^\circ)}{\cos(360^\circ)}=0$.
24. $\frac{5\pi}{3}$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $300^\circ=300\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{5\pi}{3}$.
25. $3$ — המקסימום מתקבל כש-$\sin x=1$: $2\cdot1+1=3$.
26. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\frac{4\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.
27. $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\frac{7\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
28. $-\frac{7}{25}$ — לפי נוסחת הזווית הכפולה: $1-2\sin^2\alpha=1-2\cdot\frac{16}{25}=-\frac{7}{25}$.
29. $135^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $\frac{3\pi}{4}=135^\circ$.
30. $90^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $\frac{\pi}{2}=90^\circ$.
31. $-\sqrt{3}$ — מתקיים $\tan\left(\frac{2\pi}{3}\right)=\frac{\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)}{\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)}=-\sqrt{3}$.
32. $\frac{7}{25}$ — לפי נוסחת הזווית הכפולה: $\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=\frac{16}{25}-\frac{9}{25}=\frac{7}{25}$.
33. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ — הערך $\cos(330^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$x$ של הנקודה המתאימה לזווית.
34. $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
35. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$.