תרגול טריגונומטריה מתקדמת — בגרות 5 יח"ל

פתרונות

1. $\frac{24}{25}$ — לפי נוסחת הזווית הכפולה: $2\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{4}{5}=\frac{24}{25}$.
2. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\frac{7\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
3. $0$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$.
4. $\frac{5\pi}{3}$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $300^\circ=300\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{5\pi}{3}$.
5. $-\frac{7}{25}$ — לפי נוסחת הזווית הכפולה: $2\cos^2\alpha-1=2\cdot\frac{9}{25}-1=-\frac{7}{25}$.
6. $1$ — מתקיים $\tan\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)}=1$.
7. $-\frac{1}{2}$ — הערך $\cos(240^\circ)=-\frac{1}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$x$ של הנקודה המתאימה לזווית.
8. $-\sin\alpha$ — $\sin$ היא פונקציה אי-זוגית. לכן התשובה היא $-\sin\alpha$.
9. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
10. $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ — מתקיים $\tan(150^\circ)=\frac{\sin(150^\circ)}{\cos(150^\circ)}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$.
11. $60^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $\frac{\pi}{3}=60^\circ$.
12. $150^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $\frac{5\pi}{6}=150^\circ$.
13. $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\frac{5\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
14. $\tan\alpha$ — זוהי הגדרת הטנגנס. לכן התשובה היא $\tan\alpha$.
15. $-\frac{3}{5}$ — לפי זהות היסוד $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ מקבלים את הערך המוחלט, והסימן נקבע לפי הרביע רביעי. לכן $\sin\alpha=-\frac{3}{5}$.
16. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ — הערך $\sin(300^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
17. $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ — מתקיים $\tan\left(\frac{11\pi}{6}\right)=\frac{\sin\left(\frac{11\pi}{6}\right)}{\cos\left(\frac{11\pi}{6}\right)}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$.
18. $135^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $\frac{3\pi}{4}=135^\circ$.
19. $0$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right)=0$.
20. $x=180^\circ+360^\circ k$ — למשוואה $\cos x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\pm\alpha+360^\circ k$, כאשר $\alpha$ זווית עזר. לכן הפתרון הוא $x=180^\circ+360^\circ k$.
21. $-1$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)=-1$.
22. $-1$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\pi\right)=-1$.
23. $-\frac{1}{2}$ — הערך $\sin(210^\circ)=-\frac{1}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
24. $\frac{2\pi}{3}$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $120^\circ=120\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{2\pi}{3}$.
25. $x=90^\circ+360^\circ k$ — למשוואה $\sin x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\alpha+360^\circ k$ או $x=180^\circ-\alpha+360^\circ k$, כאשר $\alpha$ היא זווית עזר. לכן הפתרון הוא $x=90^\circ+360^\circ k$.
26. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
27. $\frac{4}{5}$ — לפי זהות היסוד $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ מקבלים את הערך המוחלט, והסימן נקבע לפי הרביע שני. לכן $\sin\alpha=\frac{4}{5}$.
28. $-\frac{4}{5}$ — לפי זהות היסוד $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ מקבלים את הערך המוחלט, והסימן נקבע לפי הרביע שני. לכן $\cos\alpha=-\frac{4}{5}$.
29. $1$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(2\pi\right)=1$.
30. $0$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\pi\right)=0$.
31. $\frac{1}{\cos^2\alpha}$ — מחלקים את זהות היסוד ב-$\cos^2\alpha$. לכן התשובה היא $\frac{1}{\cos^2\alpha}$.
32. $108$ — $a^2=36+36-2\cdot6\cdot6\cdot(-\frac12)=72+36=108$.
33. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
34. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ — הערך $\sin(60^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
35. $\frac{\pi}{12}$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $15^\circ=15\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{\pi}{12}$.