תרגול טריגונומטריה מתקדמת — בגרות 5 יח"ל

פתרונות

1. $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ — מתקיים $\tan(150^\circ)=\frac{\sin(150^\circ)}{\cos(150^\circ)}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$.
2. $\frac{1}{2}$ — הערך $\sin(150^\circ)=\frac{1}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
3. $\sin^2\alpha$ — נובע מ-$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$. לכן התשובה היא $\sin^2\alpha$.
4. $\frac{7\pi}{6}$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $210^\circ=210\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{7\pi}{6}$.
5. $\frac{1}{2}$ — הערך $\sin(30^\circ)=\frac{1}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
6. $x=135^\circ,\ x=225^\circ$ — מוצאים את הפתרון הכללי ובוחרים מתוכו את הערכים שנמצאים בתחום $0^\circ\le x<360^\circ$. הפתרונות הם $x=135^\circ,\ x=225^\circ$.
7. $x=30^\circ+180^\circ k$ — למשוואה $\tan x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\alpha+180^\circ k$, כי לטנגנס תקופה של $180^\circ$. לכן הפתרון הוא $x=30^\circ+180^\circ k$.
8. $x=60^\circ,\ x=300^\circ$ — מוצאים את הפתרון הכללי ובוחרים מתוכו את הערכים שנמצאים בתחום $0^\circ\le x<360^\circ$. הפתרונות הם $x=60^\circ,\ x=300^\circ$.
9. $x=60^\circ,\ x=120^\circ$ — מוצאים את הפתרון הכללי ובוחרים מתוכו את הערכים שנמצאים בתחום $0^\circ\le x<360^\circ$. הפתרונות הם $x=60^\circ,\ x=120^\circ$.
10. $\sqrt{3}$ — מתקיים $\tan(240^\circ)=\frac{\sin(240^\circ)}{\cos(240^\circ)}=\sqrt{3}$.
11. $-\frac{7}{25}$ — לפי נוסחת הזווית הכפולה: $2\cos^2\alpha-1=2\cdot\frac{9}{25}-1=-\frac{7}{25}$.
12. $\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$ — נוסחת הסכום לקוסינוס. לכן התשובה היא $\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$.
13. $360^\circ$ — התקופה הבסיסית של סינוס היא $360^\circ$.
14. $\frac{1}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}$.
15. $\frac{15}{17}$ — לפי זהות היסוד $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ מקבלים את הערך המוחלט, והסימן נקבע לפי הרביע ראשון. לכן $\cos\alpha=\frac{15}{17}$.
16. $1$ — זוהי זהות היסוד הטריגונומטרית. לכן התשובה היא $1$.
17. $x=\pm120^\circ+360^\circ k$ — למשוואה $\cos x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\pm\alpha+360^\circ k$, כאשר $\alpha$ זווית עזר. לכן הפתרון הוא $x=\pm120^\circ+360^\circ k$.
18. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ — הערך $\cos(45^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$x$ של הנקודה המתאימה לזווית.
19. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ — הערך $\sin(135^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
20. $-\sqrt{3}$ — מתקיים $\tan(300^\circ)=\frac{\sin(300^\circ)}{\cos(300^\circ)}=-\sqrt{3}$.
21. $1$ — מתקיים $\tan(45^\circ)=\frac{\sin(45^\circ)}{\cos(45^\circ)}=1$.
22. $-1$ — מתקיים $\tan\left(\frac{3\pi}{4}\right)=\frac{\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)}{\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)}=-1$.
23. $-\frac{1}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right)=-\frac{1}{2}$.
24. $\frac{1}{\cos^2\alpha}$ — מחלקים את זהות היסוד ב-$\cos^2\alpha$. לכן התשובה היא $\frac{1}{\cos^2\alpha}$.
25. $135^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $\frac{3\pi}{4}=135^\circ$.
26. $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\frac{7\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
27. $-1$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\pi\right)=-1$.
28. $\frac{1}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}$.
29. $120^\circ$ — התקופה היא $\frac{360^\circ}{3}=120^\circ$.
30. $\frac{12}{13}$ — לפי זהות היסוד $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ מקבלים את הערך המוחלט, והסימן נקבע לפי הרביע ראשון. לכן $\cos\alpha=\frac{12}{13}$.
31. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ — הערך $\cos(150^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$x$ של הנקודה המתאימה לזווית.
32. $\frac{\pi}{6}$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $30^\circ=30\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{\pi}{6}$.
33. $15^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $\frac{\pi}{12}=15^\circ$.
34. $\dfrac{1}{2}$ — ערך טריגונומטרי ידוע: $\sin(30^\circ)=\frac{1}{2}$.
35. $180^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $\pi=180^\circ$.