תרגול טריגונומטריה — בגרות 4 יח"ל

פתרונות

1. $1$ — לפי זהות היסוד $\sin^2 x+\cos^2 x=1$ עבור כל זווית, ובפרט $30^\circ$.
2. $\frac{12}{13}$ — $\cos A = \frac{12}{13}$.
3. $\frac{8}{15}$ — $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}=\dfrac{8/17}{15/17}=\dfrac{8}{15}=\frac{8}{15}$.
4. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ — $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ — ערך מיוחד שכדאי לזכור.
5. $\frac{3}{4}$ — $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}=\dfrac{3/5}{4/5}=\dfrac{3}{4}=\frac{3}{4}$.
6. $\frac{3}{5}$ — לפי $\sin^2 x+\cos^2 x=1$: $\sin x=\sqrt{1-\cos^2 x}=\sqrt{1-\left(8/10\right)^2}=\frac{3}{5}$.
7. $\frac{3}{4}$ — $\tan A = \frac{3}{4}$.
8. $\frac{15}{17}$ — לפי זהות היסוד $\sin^2 x+\cos^2 x=1$: $\cos x=\sqrt{1-\sin^2 x}=\sqrt{1-\left(8/17\right)^2}=\frac{15}{17}$ (חיובי כי $x$ חדה).
9. $1$ — $\sin(90^\circ)-\cos(90^\circ)=1-0=1$.
10. $\frac{3}{4}$ — $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}=\dfrac{9/15}{12/15}=\dfrac{9}{12}=\frac{3}{4}$.
11. $45^\circ$ — $\tan A=\dfrac{2}{2}=1$, ולכן $A=45^\circ$ (משולש שווה-שוקיים ישר-זווית).
12. $\frac{20}{21}$ — $\tan A = \frac{20}{21}$.
13. $\frac{3}{4}$ — $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}=\dfrac{9/15}{12/15}=\dfrac{9}{12}=\frac{3}{4}$.
14. $3$ — הצלע שמול $= $ יתר $\times \sin(30^\circ)=6\times\frac{1}{2}=3$.
15. $\frac{7}{24}$ — $\tan A = \frac{7}{24}$.
16. $5$ — לפי משפט פיתגורס: היתר $=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.
17. $\frac{5}{13}$ — $\sin A = \frac{5}{13}$.
18. $45^\circ$ — $\tan A=\dfrac{5}{5}=1$, ולכן $A=45^\circ$ (משולש שווה-שוקיים ישר-זווית).
19. $12$ — לפי פיתגורס: ניצב $=\sqrt{20^2-16^2}=\sqrt{400-256}=\sqrt{144}=12$.
20. $10$ — לפי פיתגורס: ניצב $=\sqrt{26^2-24^2}=\sqrt{676-576}=\sqrt{100}=10$.
21. $\frac{20}{21}$ — $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}=\dfrac{20/29}{21/29}=\dfrac{20}{21}=\frac{20}{21}$.
22. $x=60^\circ \lor x=300^\circ$ — הפתרון הבסיסי הוא $60^\circ$, והפתרון הכללי בתחום הוא: $x=60^\circ \lor x=300^\circ$.
23. $8$ — הצלע הצמודה $= $ יתר $\times \cos(60^\circ)=16\times\frac{1}{2}=8$.
24. $\sqrt{3}$ — $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$ — ערך מיוחד שכדאי לזכור.
25. $\frac{7}{25}$ — $\sin A = \frac{7}{25}$.
26. $\frac{5}{12}$ — $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}=\dfrac{10/26}{24/26}=\dfrac{10}{24}=\frac{5}{12}$.
27. $\frac{3}{4}$ — $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}=\dfrac{3/5}{4/5}=\dfrac{3}{4}=\frac{3}{4}$.
28. $\frac{3}{4}$ — $\tan A = \frac{3}{4}$.
29. $60^\circ$ — $\cos A=\dfrac{9}{18}=\dfrac{1}{2}$, ולכן $A=60^\circ$.
30. $30^\circ$ — $\sin A=\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}$, ולכן $A=30^\circ$.
31. $\cos(70^\circ)$ — $\sin(\alpha)=\cos(90^\circ-\alpha)$, ולכן $\sin(20^\circ)=\cos(70^\circ)=\cos(70^\circ)$.
32. $3$ — לפי פיתגורס: ניצב $=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$.
33. $\frac{3}{5}$ — $\sin A = \frac{3}{5}$.
34. $30^\circ$ — מהטבלה: $\cos(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}$, ולכן $x=30^\circ$.
35. $30^\circ$ — $\sin A=\dfrac{7}{14}=\dfrac{1}{2}$, ולכן $A=30^\circ$.