תרגול טריגונומטריה — בגרות 4 יח"ל

פתרונות

1. $0$ — $\sin(0^\circ) = 0$ — ערך מיוחד שכדאי לזכור.
2. $5$ — לפי פיתגורס: ניצב $=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{169-144}=\sqrt{25}=5$.
3. $8$ — לפי פיתגורס: ניצב $=\sqrt{17^2-15^2}=\sqrt{289-225}=\sqrt{64}=8$.
4. $\frac{4}{5}$ — לפי זהות היסוד $\sin^2 x+\cos^2 x=1$: $\cos x=\sqrt{1-\sin^2 x}=\sqrt{1-\left(9/15\right)^2}=\frac{4}{5}$ (חיובי כי $x$ חדה).
5. $1$ — $\tan(60^\circ)\cdot\tan(30^\circ)=\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{3}{3}=1$.
6. $9$ — הצלע שמול $= $ יתר $\times \sin(30^\circ)=18\times\frac{1}{2}=9$.
7. $\frac{4}{5}$ — $\cos A = \frac{4}{5}$.
8. $7$ — לפי פיתגורס: ניצב $=\sqrt{25^2-24^2}=\sqrt{625-576}=\sqrt{49}=7$.
9. $5$ — לפי משפט פיתגורס: היתר $=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.
10. $8$ — $\sin(30^\circ)=\dfrac{1}{2}$, ולכן היתר $=2\cdot4=8$.
11. $\frac{4}{5}$ — לפי זהות היסוד $\sin^2 x+\cos^2 x=1$: $\cos x=\sqrt{1-\sin^2 x}=\sqrt{1-\left(12/20\right)^2}=\frac{4}{5}$ (חיובי כי $x$ חדה).
12. $0$ — $\cos(90^\circ)=0$.
13. $\frac{3}{5}$ — לפי $\sin^2 x+\cos^2 x=1$: $\sin x=\sqrt{1-\cos^2 x}=\sqrt{1-\left(4/5\right)^2}=\frac{3}{5}$.
14. $45^\circ$ — $\tan A=\dfrac{2}{2}=1$, ולכן $A=45^\circ$ (משולש שווה-שוקיים ישר-זווית).
15. $\frac{5}{12}$ — $\tan A = \frac{5}{12}$.
16. $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$ — $\cos(30^\circ)+\cos(60^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$.
17. $x=30^\circ \lor x=150^\circ$ — הפתרון הבסיסי הוא $30^\circ$, והפתרון הכללי בתחום הוא: $x=30^\circ \lor x=150^\circ$.
18. $\frac{12}{13}$ — $\cos A = \frac{12}{13}$.
19. $3$ — $3\tan(45^\circ)=3\cdot 1=3$.
20. $1$ — $\tan(45^\circ) = 1$ — ערך מיוחד שכדאי לזכור.
21. $8$ — הצלע הצמודה $= $ יתר $\times \cos(60^\circ)=16\times\frac{1}{2}=8$.
22. $\frac{3}{4}$ — $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}=\dfrac{3/5}{4/5}=\dfrac{3}{4}=\frac{3}{4}$.
23. $\cos(50^\circ)$ — $\sin(\alpha)=\cos(90^\circ-\alpha)$, ולכן $\sin(40^\circ)=\cos(50^\circ)=\cos(50^\circ)$.
24. $1$ — $2\sin(30^\circ)=2\cdot\frac{1}{2}=1$.
25. $\frac{5}{12}$ — $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}=\dfrac{10/26}{24/26}=\dfrac{10}{24}=\frac{5}{12}$.
26. $10$ — לפי פיתגורס: ניצב $=\sqrt{26^2-24^2}=\sqrt{676-576}=\sqrt{100}=10$.
27. $\frac{8}{15}$ — $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}=\dfrac{8/17}{15/17}=\dfrac{8}{15}=\frac{8}{15}$.
28. $60^\circ$ — $\cos A=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}$, ולכן $A=60^\circ$.
29. $2$ — $\tan(45^\circ)+\tan(45^\circ)=1+1=2$.
30. $x=60^\circ \lor x=300^\circ$ — הפתרון הבסיסי הוא $60^\circ$, והפתרון הכללי בתחום הוא: $x=60^\circ \lor x=300^\circ$.
31. $\frac{5}{12}$ — $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}=\dfrac{5/13}{12/13}=\dfrac{5}{12}=\frac{5}{12}$.
32. $\frac{7}{24}$ — $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}=\dfrac{7/25}{24/25}=\dfrac{7}{24}=\frac{7}{24}$.
33. $\frac{3}{4}$ — $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}=\dfrac{9/15}{12/15}=\dfrac{9}{12}=\frac{3}{4}$.
34. $3$ — הצלע הצמודה $= $ יתר $\times \cos(60^\circ)=6\times\frac{1}{2}=3$.
35. $0$ — $\sin(0^\circ)=0$.