תרגול טריגונומטריה — בגרות 4 יח"ל

פתרונות

1. $\frac{3}{5}$ — לפי זהות היסוד $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$: $\sin x = \sqrt{1 - \cos^2 x} = \sqrt{1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$.
2. $\frac{3}{4}$ — $\tan A = \frac{3}{4}$.
3. $1$ — $2\cos(60^\circ)=2\cdot\frac{1}{2}=1$.
4. $\frac{24}{25}$ — לפי זהות היסוד $\sin^2 x+\cos^2 x=1$: $\cos x=\sqrt{1-\sin^2 x}=\sqrt{1-\left(7/25\right)^2}=\frac{24}{25}$ (חיובי כי $x$ חדה).
5. $90^\circ$ — מהטבלה: $\sin(90^\circ)=1$, ולכן $x=90^\circ$.
6. $13$ — לפי משפט פיתגורס: היתר $=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$.
7. $1$ — $\tan(45^\circ) = 1$ — ערך מיוחד שכדאי לזכור.
8. $7$ — הצלע הצמודה $= $ יתר $\times \cos(60^\circ)=14\times\frac{1}{2}=7$.
9. $\frac{5}{13}$ — $\sin A = \frac{5}{13}$.
10. $\frac{5}{13}$ — לפי זהות היסוד $\sin^2 x+\cos^2 x=1$: $\sin x=\sqrt{1-\cos^2 x}=\sqrt{1-\left(\frac{12}{13}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{144}{169}}=\sqrt{\frac{25}{169}}=\frac{5}{13}$.
11. $5$ — $10\cdot\cos(60^\circ)=10\cdot\frac{1}{2}=5$.
12. $9$ — הצלע הצמודה $= $ יתר $\times \cos(60^\circ)=18\times\frac{1}{2}=9$.
13. $\frac{4}{5}$ — $\cos A = \frac{4}{5}$.
14. $\frac{8}{15}$ — $\tan A = \frac{8}{15}$.
15. $0$ — $\tan(0^\circ) = 0$ — ערך מיוחד שכדאי לזכור.
16. $\frac{5}{12}$ — $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}=\dfrac{10/26}{24/26}=\dfrac{10}{24}=\frac{5}{12}$.
17. $\cos(80^\circ)$ — $\sin(\alpha)=\cos(90^\circ-\alpha)$, ולכן $\sin(10^\circ)=\cos(80^\circ)=\cos(80^\circ)$.
18. $12$ — הצלע הצמודה $= $ יתר $\times \cos(60^\circ)=24\times\frac{1}{2}=12$.
19. $6$ — לפי פיתגורס: ניצב $=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6$.
20. $\sqrt{3}$ — $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$ — ערך מיוחד שכדאי לזכור.
21. $1$ — לפי זהות היסוד $\sin^2 x+\cos^2 x=1$ עבור כל זווית, ובפרט $30^\circ$.
22. $\frac{3}{5}$ — $\sin A = \frac{3}{5}$.
23. $\frac{3}{4}$ — $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}=\dfrac{6/10}{8/10}=\dfrac{6}{8}=\frac{3}{4}$.
24. $\frac{20}{21}$ — $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}=\dfrac{20/29}{21/29}=\dfrac{20}{21}=\frac{20}{21}$.
25. $4$ — הצלע שמול $= $ יתר $\times \sin(30^\circ)=8\times\frac{1}{2}=4$.
26. $\frac{4}{5}$ — לפי זהות היסוד $\sin^2 x+\cos^2 x=1$: $\cos x=\sqrt{1-\sin^2 x}=\sqrt{1-\left(15/25\right)^2}=\frac{4}{5}$ (חיובי כי $x$ חדה).
27. $\frac{8}{17}$ — לפי $\sin^2 x+\cos^2 x=1$: $\sin x=\sqrt{1-\cos^2 x}=\sqrt{1-\left(15/17\right)^2}=\frac{8}{17}$.
28. $\cos(65^\circ)$ — $\sin(\alpha)=\cos(90^\circ-\alpha)$, ולכן $\sin(25^\circ)=\cos(65^\circ)=\cos(65^\circ)$.
29. $10$ — לפי משפט פיתגורס: היתר $=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$.
30. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ — במשולש ישר-זווית שווה-שוקיים ($45^\circ$-$45^\circ$-$90^\circ$) עם שוקיים באורך $1$, האלכסון שווה $\sqrt{2}$. לכן $\sin(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
31. $\frac{1}{2}$ — $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$ — ערך מיוחד שכדאי לזכור.
32. $60^\circ$ — $\cos A=\dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{2}$, ולכן $A=60^\circ$.
33. $\frac{12}{13}$ — $\cos A = \frac{12}{13}$.
34. $3$ — $6\cdot\sin(30^\circ)=6\cdot\frac{1}{2}=3$.
35. $7$ — לפי פיתגורס: ניצב $=\sqrt{25^2-24^2}=\sqrt{625-576}=\sqrt{49}=7$.