תרגול סדרות חשבוניות והנדסיות — בגרות 4 יח"ל

פתרונות

1. $12$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{6}{1-\frac{1}{2}}=\frac{6}{\frac{1}{2}}=12$.
2. $8$ — מ-$S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$ מקבלים משוואה ריבועית ב-$n$ שפתרונה החיובי השלם הוא $n=8$. בדיקה: $S_{8}=100$.
3. $63$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{1(2^{6}-1)}{2-1}=\frac{1\cdot 63}{1}=63$.
4. $135$ — תחילה $a_{6}=a_1+(n-1)d=5+35=40$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{6(5+40)}{2}=135$.
5. $18$ — בסדרה חשבונית האיבר האמצעי הוא ממוצע שכניו: $x=\frac{6+30}{2}=18$.
6. $38$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=8+(3-1)\cdot 15=8+30=38$.
7. $31$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{1(5^{3}-1)}{5-1}=\frac{1\cdot 124}{4}=31$.
8. $190$ — $S_{10}=\frac{10}{2}\big(2\cdot 1+(10-1)\cdot 4\big)=\frac{10}{2}\big(2+36\big)=\frac{10}{2}\cdot 38=190$.
9. $432$ — תחילה $a_{16}=a_1+(n-1)d=12+30=42$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{16(12+42)}{2}=432$.
10. $105$ — $S_{5}=\frac{5}{2}\big(2\cdot 3+(5-1)\cdot 9\big)=\frac{5}{2}\big(6+36\big)=\frac{5}{2}\cdot 42=105$.
11. $52$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=19+(12-1)\cdot 3=19+33=52$.
12. $4$ — בהנדסית האיבר האמצעי מקיים $x^2=a\cdot c=1\cdot 16=16$, ולכן $x=4$.
13. $54$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=30+(5-1)\cdot 6=30+24=54$.
14. $400$ — תחילה $a_{20}=a_1+(n-1)d=1+38=39$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{20(1+39)}{2}=400$.
15. $45$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{3(2^{4}-1)}{2-1}=\frac{3\cdot 15}{1}=45$.
16. $90$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{30}{1-\frac{2}{3}}=\frac{30}{\frac{1}{3}}=90$.
17. $69$ — $S_{6}=\frac{6}{2}\big(2\cdot 4+(6-1)\cdot 3\big)=\frac{6}{2}\big(8+15\big)=\frac{6}{2}\cdot 23=69$.
18. $3$ — מהנוסחה $a_n=a_1 q^{n-1}$ נקבל $18=2\cdot q^{2}$, כלומר $q^{2}=9$, ולכן $q=3$.
19. $\frac{125}{4}$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{25}{1-\frac{1}{5}}=\frac{25}{\frac{4}{5}}=\frac{125}{4}$.
20. הנדסית עם $q=4$ — היחס קבוע: $\frac{4}{1}=4$, סדרה הנדסית עם $q=4$.
21. $160$ — $S_{8}=\frac{8}{2}\big(2\cdot 6+(8-1)\cdot 4\big)=\frac{8}{2}\big(12+28\big)=\frac{8}{2}\cdot 40=160$.
22. $38$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=3+(8-1)\cdot 5=3+35=38$.
23. $156$ — $S_{8}=\frac{8}{2}\big(2\cdot 2+(8-1)\cdot 5\big)=\frac{8}{2}\big(4+35\big)=\frac{8}{2}\cdot 39=156$.
24. $18$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{12}{1-\frac{1}{3}}=\frac{12}{\frac{2}{3}}=18$.
25. $75$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{5(2^{4}-1)}{2-1}=\frac{5\cdot 15}{1}=75$.
26. $22$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=7+(6-1)\cdot 3=7+15=22$.
27. $13$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{1(3^{3}-1)}{3-1}=\frac{1\cdot 26}{2}=13$.
28. $21$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{1(4^{3}-1)}{4-1}=\frac{1\cdot 63}{3}=21$.
29. חשבונית עם $d=-3$ — ההפרש קבוע: $7-10=-3$, סדרה חשבונית עם $d=-3$.
30. $4$ — מהנוסחה $a_n=a_1+(n-1)d$ נקבל $38=2+(10-1)d$, כלומר $9d=36$, ולכן $d=4$.
31. $42$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=18+(13-1)\cdot 2=18+24=42$.
32. $6$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{3}{1-\frac{1}{2}}=\frac{3}{\frac{1}{2}}=6$.
33. $27$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=3\cdot 3^{2}=3\cdot 9=27$.
34. $5$ — מהנוסחה $a_n=a_1 q^{n-1}$ נקבל $125=1\cdot q^{3}$, כלומר $q^{3}=125$, ולכן $q=5$.
35. הנדסית עם $q=-2$ — היחס קבוע: $\frac{-2}{1}=-2$, סדרה הנדסית עם $q=-2$.