תרגול סדרות חשבוניות והנדסיות — בגרות 4 יח"ל

פתרונות

1. $\frac{81}{2}$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{27}{1-\frac{1}{3}}=\frac{27}{\frac{2}{3}}=\frac{81}{2}$.
2. $38$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=2+(10-1)\cdot 4=2+36=38$.
3. $38$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=8+(11-1)\cdot 3=8+30=38$.
4. $93$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{3(2^{5}-1)}{2-1}=\frac{3\cdot 31}{1}=93$.
5. $3$ — מהנוסחה $a_n=a_1+(n-1)d$ נקבל $21=1+(5-1)d$, כלומר $4d=20$, ולכן $d=3$.
6. $6$ — בהנדסית האיבר האמצעי מקיים $x^2=a\cdot c=3\cdot 12=36$, ולכן $x=6$.
7. $2$ — מהנוסחה $a_n=a_1 q^{n-1}$ נקבל $40=5\cdot q^{3}$, כלומר $q^{3}=8$, ולכן $q=2$.
8. $124$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{4(2^{5}-1)}{2-1}=\frac{4\cdot 31}{1}=124$.
9. $259$ — תחילה $a_{7}=a_1+(n-1)d=4+66=70$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{7(4+70)}{2}=259$.
10. $4$ — מהנוסחה $a_n=a_1+(n-1)d$ נקבל $34=10+(8-1)d$, כלומר $7d=24$, ולכן $d=4$.
11. $54$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=30+(5-1)\cdot 6=30+24=54$.
12. $6$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{3}{1-\frac{1}{2}}=\frac{3}{\frac{1}{2}}=6$.
13. $27$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{18}{1-\frac{1}{3}}=\frac{18}{\frac{2}{3}}=27$.
14. $182$ — $S_{7}=\frac{7}{2}\big(2\cdot 2+(7-1)\cdot 8\big)=\frac{7}{2}\big(4+48\big)=\frac{7}{2}\cdot 52=182$.
15. $31$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=15+(5-1)\cdot 4=15+16=31$.
16. $13$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{1(3^{3}-1)}{3-1}=\frac{1\cdot 26}{2}=13$.
17. $10$ — בהנדסית האיבר האמצעי מקיים $x^2=a\cdot c=5\cdot 20=100$, ולכן $x=10$.
18. $9$ — בהנדסית האיבר האמצעי מקיים $x^2=a\cdot c=3\cdot 27=81$, ולכן $x=9$.
19. $432$ — תחילה $a_{16}=a_1+(n-1)d=12+30=42$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{16(12+42)}{2}=432$.
20. $10$ — מ-$S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$ מקבלים משוואה ריבועית ב-$n$ שפתרונה החיובי השלם הוא $n=10$. בדיקה: $S_{10}=100$.
21. $45$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=5\cdot 3^{2}=5\cdot 9=45$.
22. $73$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=10+(8-1)\cdot 9=10+63=73$.
23. חשבונית עם $d=-3$ — ההפרש קבוע: $7-10=-3$, סדרה חשבונית עם $d=-3$.
24. $3$ — מהנוסחה $a_n=a_1 q^{n-1}$ נקבל $81=1\cdot q^{4}$, כלומר $q^{4}=81$, ולכן $q=3$.
25. $62$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{2(2^{5}-1)}{2-1}=\frac{2\cdot 31}{1}=62$.
26. $4$ — מהנוסחה $a_n=a_1 q^{n-1}$ נקבל $16=1\cdot q^{2}$, כלומר $q^{2}=16$, ולכן $q=4$.
27. $\frac{125}{4}$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{25}{1-\frac{1}{5}}=\frac{25}{\frac{4}{5}}=\frac{125}{4}$.
28. $275$ — תחילה $a_{11}=a_1+(n-1)d=10+30=40$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{11(10+40)}{2}=275$.
29. $127$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{1(2^{7}-1)}{2-1}=\frac{1\cdot 127}{1}=127$.
30. $16$ — בסדרה חשבונית האיבר האמצעי הוא ממוצע שכניו: $x=\frac{8+24}{2}=16$.
31. $38$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=8+(3-1)\cdot 15=8+30=38$.
32. $64$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=1\cdot 4^{3}=1\cdot 64=64$.
33. $64$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=4\cdot 2^{4}=4\cdot 16=64$.
34. $10$ — בסדרה חשבונית האיבר האמצעי הוא ממוצע שכניו: $x=\frac{4+16}{2}=10$.
35. $14$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{7}{1-\frac{1}{2}}=\frac{7}{\frac{1}{2}}=14$.