תרגול סדרות חשבוניות והנדסיות — בגרות 4 יח"ל

פתרונות

1. $40$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{1(3^{4}-1)}{3-1}=\frac{1\cdot 80}{2}=40$.
2. $3$ — מהנוסחה $a_n=a_1+(n-1)d$ נקבל $21=1+(5-1)d$, כלומר $4d=20$, ולכן $d=3$.
3. $5$ — מהנוסחה $a_n=a_1 q^{n-1}$ נקבל $50=2\cdot q^{2}$, כלומר $q^{2}=25$, ולכן $q=5$.
4. $8$ — בהנדסית האיבר האמצעי מקיים $x^2=a\cdot c=4\cdot 16=64$, ולכן $x=8$.
5. $55$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=20+(8-1)\cdot 5=20+35=55$.
6. $259$ — תחילה $a_{7}=a_1+(n-1)d=4+66=70$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{7(4+70)}{2}=259$.
7. חשבונית עם $d=-5$ — ההפרש קבוע: $15-20=-5$, סדרה חשבונית עם $d=-5$.
8. $2$ — מהנוסחה $a_n=a_1+(n-1)d$ נקבל $24=4+(11-1)d$, כלומר $10d=20$, ולכן $d=2$.
9. $62$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{2(2^{5}-1)}{2-1}=\frac{2\cdot 31}{1}=62$.
10. $663$ — תחילה $a_{13}=a_1+(n-1)d=3+96=99$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{13(3+99)}{2}=663$.
11. הנדסית עם $q=\frac{1}{2}$ — היחס קבוע: $\frac{50}{100}=\frac{1}{2}$, סדרה הנדסית עם $q=\frac{1}{2}$.
12. $45$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{15}{1-\frac{2}{3}}=\frac{15}{\frac{1}{3}}=45$.
13. $3$ — מהנוסחה $a_n=a_1+(n-1)d$ נקבל $31=7+(9-1)d$, כלומר $8d=24$, ולכן $d=3$.
14. $3$ — מהנוסחה $a_n=a_1 q^{n-1}$ נקבל $18=2\cdot q^{2}$, כלומר $q^{2}=9$, ולכן $q=3$.
15. $7$ — מהנוסחה $a_n=a_1+(n-1)d$ נקבל $52=3+(8-1)d$, כלומר $7d=49$, ולכן $d=7$.
16. $13$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{1(3^{3}-1)}{3-1}=\frac{1\cdot 26}{2}=13$.
17. $16$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{8}{1-\frac{1}{2}}=\frac{8}{\frac{1}{2}}=16$.
18. $64$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=1\cdot 4^{3}=1\cdot 64=64$.
19. $64$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=2\cdot 2^{5}=2\cdot 32=64$.
20. $378$ — תחילה $a_{9}=a_1+(n-1)d=2+80=82$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{9(2+82)}{2}=378$.
21. $4$ — מהנוסחה $a_n=a_1 q^{n-1}$ נקבל $32=2\cdot q^{2}$, כלומר $q^{2}=16$, ולכן $q=4$.
22. $31$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=7+(3-1)\cdot 12=7+24=31$.
23. $135$ — תחילה $a_{6}=a_1+(n-1)d=5+35=40$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{6(5+40)}{2}=135$.
24. $42$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{2(4^{3}-1)}{4-1}=\frac{2\cdot 63}{3}=42$.
25. $42$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=18+(13-1)\cdot 2=18+24=42$.
26. $18$ — בסדרה חשבונית האיבר האמצעי הוא ממוצע שכניו: $x=\frac{6+30}{2}=18$.
27. $156$ — $S_{8}=\frac{8}{2}\big(2\cdot 2+(8-1)\cdot 5\big)=\frac{8}{2}\big(4+35\big)=\frac{8}{2}\cdot 39=156$.
28. $10$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{5}{1-\frac{1}{2}}=\frac{5}{\frac{1}{2}}=10$.
29. $22$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=7+(6-1)\cdot 3=7+15=22$.
30. $9$ — מ-$S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$ מקבלים משוואה ריבועית ב-$n$ שפתרונה החיובי השלם הוא $n=9$. בדיקה: $S_{9}=45$.
31. $105$ — $S_{5}=\frac{5}{2}\big(2\cdot 3+(5-1)\cdot 9\big)=\frac{5}{2}\big(6+36\big)=\frac{5}{2}\cdot 42=105$.
32. $10$ — בסדרה חשבונית האיבר האמצעי הוא ממוצע שכניו: $x=\frac{4+16}{2}=10$.
33. $41$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=16+(6-1)\cdot 5=16+25=41$.
34. הנדסית עם $q=-2$ — היחס קבוע: $\frac{-2}{1}=-2$, סדרה הנדסית עם $q=-2$.
35. $40$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=5\cdot 2^{3}=5\cdot 8=40$.